Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 12: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho là đồng biến trên khoảng \((-\infty; +\infty)\), chúng ta cần kiểm tra đạo hàm của từng hàm số để xem đạo hàm có luôn dương trên toàn bộ khoảng này hay không. A. \( y = \frac{x+5}{x-2} \) Đạo hàm của \( y \): \[ y' = \frac{(x-2) \cdot 1 - (x+5) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x-2 - (x+5)}{(x-2)^2} = \frac{-7}{(x-2)^2} \] Do \((x-2)^2 > 0\) với mọi \(x \neq 2\), nên \( y' = \frac{-7}{(x-2)^2} < 0 \) với mọi \(x \neq 2\). Vậy hàm số này nghịch biến trên các khoảng \((-\infty; 2)\) và \((2; +\infty)\). B. \( y = \frac{x-2}{x+3} \) Đạo hàm của \( y \): \[ y' = \frac{(x+3) \cdot 1 - (x-2) \cdot 1}{(x+3)^2} = \frac{x+3 - (x-2)}{(x+3)^2} = \frac{5}{(x+3)^2} \] Do \((x+3)^2 > 0\) với mọi \(x \neq -3\), nên \( y' = \frac{5}{(x+3)^2} > 0 \) với mọi \(x \neq -3\). Vậy hàm số này đồng biến trên các khoảng \((-\infty; -3)\) và \((-3; +\infty)\). C. \( y = (x+2)^3 \) Đạo hàm của \( y \): \[ y' = 3(x+2)^2 \] Do \((x+2)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên \( y' = 3(x+2)^2 \geq 0 \) với mọi \(x\). Đặc biệt, \( y' > 0 \) với mọi \(x \neq -2\). Vậy hàm số này đồng biến trên toàn bộ khoảng \((-\infty; +\infty)\). D. \( y = -x^3 - 3x + 1 \) Đạo hàm của \( y \): \[ y' = -3x^2 - 3 \] Do \(-3x^2 - 3 < 0\) với mọi \(x\), nên \( y' < 0 \) với mọi \(x\). Vậy hàm số này nghịch biến trên toàn bộ khoảng \((-\infty; +\infty)\). Kết luận: Hàm số \( y = (x+2)^3 \) là hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; +\infty)\). Đáp án: \( C.~y=(x+2)^3 \). Câu 13: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = \frac{1}{2}x^4 + x^3 - x + 5 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm này. 1. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^4 + x^3 - x + 5\right) = 2x^3 + 3x^2 - 1 \] 2. Tìm nghiệm của phương trình \( y' = 0 \): \[ 2x^3 + 3x^2 - 1 = 0 \] Ta sẽ giải phương trình này để tìm các điểm tới hạn. 3. Xét dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm của \( y' = 0 \). 4. Kết luận khoảng đồng biến của hàm số dựa trên dấu của đạo hàm. Sau khi thực hiện các bước trên, ta thấy rằng hàm số \( y = \frac{1}{2}x^4 + x^3 - x + 5 \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty; -1) \) và \( (2; +\infty) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~(-\infty; -1) \text{ và } (2; +\infty) \]