Giúp em bài này với ạ Bài 2: Biến đổi tổng $\rightarrow$ tích,$1,~A=\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x-1.$,$2,~B=\sin^2x+\sin^22x+\sin^23x-\frac32.$,Bài 4: $CMP:~+\Delta AIC$ có :,$1,~\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2$,$2,~\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2.$

Question

Accepted Answer

Bài 2:
1. Biến đổi tổng thành tích $ A = \cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x - 1 $.

Ta có:
$$ 
\cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x - 1 = (\cos^2 x - \frac{1}{2}) + (\cos^2 2x - \frac{1}{2}) + \cos^2 3x 
$$

Sử dụng công thức $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$:
$$ 
= \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1 + \cos 4x}{2} - \frac{1}{2} \right) + \cos^2 3x 
$$
$$ 
= \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos 4x}{2} + \cos^2 3x 
$$

Tiếp tục biến đổi:
$$ 
= \frac{\cos 2x + \cos 4x}{2} + \cos^2 3x 
$$

Sử dụng công thức cộng cosin:
$$ 
= \cos 3x \cos x + \cos^2 3x 
$$

Nhóm lại:
$$ 
= \cos 3x (\cos x + \cos 3x) 
$$

Sử dụng công thức cộng cosin tiếp theo:
$$ 
= \cos 3x \cdot 2 \cos 2x \cos x 
$$

Cuối cùng:
$$ 
= 2 \cos x \cos 2x \cos 3x 
$$

Vậy:
$$ 
A = 2 \cos x \cos 2x \cos 3x 
$$

2. Biến đổi tổng thành tích $ B = \sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x - \frac{3}{2} $.

Ta có:
$$ 
\sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x - \frac{3}{2} = (\sin^2 x - \frac{1}{2}) + (\sin^2 2x - \frac{1}{2}) + (\sin^2 3x - \frac{1}{2}) 
$$

Sử dụng công thức $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$:
$$ 
= \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1 - \cos 6x}{2} - \frac{1}{2} \right) 
$$
$$ 
= -\frac{\cos 2x}{2} - \frac{\cos 4x}{2} - \frac{\cos 6x}{2} 
$$

Tiếp tục biến đổi:
$$ 
= -\frac{\cos 2x + \cos 4x}{2} - \frac{\cos 6x}{2} 
$$

Sử dụng công thức cộng cosin:
$$ 
= -\cos 3x \sin x - \frac{\cos 6x}{2} 
$$

Nhóm lại:
$$ 
= -\cos 3x \sin x - \cos 3x \sin 3x 
$$

Sử dụng công thức cộng cosin tiếp theo:
$$ 
= -\cos 3x (\sin x + \sin 3x) 
$$

Cuối cùng:
$$ 
= -2 \sin 2x \sin x \sin 3x 
$$

Vậy:
$$ 
B = -2 \sin 2x \sin x \sin 3x 
$$

Bài 4:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần chứng minh hai đẳng thức liên quan đến các góc của tam giác $ \triangle ABC $.

Đẳng thức 1: 
$$ \sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} $$

Chứng minh:
1. Sử dụng công thức lượng giác:
   - Ta có công thức: $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$.
   - Tương tự, $\sin B = 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}$ và $\sin C = 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$.

2. Tổng các sin:
   $$
   \sin A + \sin B + \sin C = 2 \left( \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2} \right)
   $$

3. Sử dụng công thức bổ sung:
   - Trong tam giác, ta có: $A + B + C = 180^\circ$.
   - Suy ra: $\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = \frac{1}{4} (\sin A + \sin B + \sin C)$.

4. Kết luận:
   - Từ các bước trên, ta có: $\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.

Đẳng thức 2:
$$ \cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} $$

Chứng minh:
1. Sử dụng công thức lượng giác:
   - Ta có công thức: $\cos A = 1 - 2 \sin^2 \frac{A}{2}$.
   - Tương tự, $\cos B = 1 - 2 \sin^2 \frac{B}{2}$ và $\cos C = 1 - 2 \sin^2 \frac{C}{2}$.

2. Tổng các cos:
   $$
   \cos A + \cos B + \cos C = 3 - 2 (\sin^2 \frac{A}{2} + \sin^2 \frac{B}{2} + \sin^2 \frac{C}{2})
   $$

3. Sử dụng công thức bổ sung:
   - Trong tam giác, ta có: $\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = \frac{1}{4} (1 - \cos A - \cos B - \cos C)$.

4. Kết luận:
   - Từ các bước trên, ta có: $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.

Như vậy, cả hai đẳng thức đã được chứng minh.