Cho tôi đáp án câu 1

Câu 1: Để biểu diễn mặt phẳng \((AIJ)\) trong hình chóp \(S.ABCD\), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm đã cho: - \(I\) là trung điểm của \(SD\), do đó tọa độ của \(I\) có thể được xác định nếu biết tọa độ của \(S\) và \(D\). - \(J\) là một điểm trên \(SC\) và không trùng với trung điểm của \(SC\). Điều này có nghĩa là \(J\) có thể được biểu diễn dưới dạng \(J = (1-t)S + tC\) với \(t \neq \frac{1}{2}\). 2. Xác định phương trình mặt phẳng \((AIJ)\): - Để xác định mặt phẳng \((AIJ)\), ta cần tìm một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng này. Véc-tơ pháp tuyến có thể được tìm bằng cách lấy tích có hướng của hai véc-tơ nằm trong mặt phẳng. - Xét hai véc-tơ \(\overrightarrow{AI}\) và \(\overrightarrow{AJ}\): - \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{I} - \overrightarrow{A}\) - \(\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{J} - \overrightarrow{A}\) 3. Tính tích có hướng: - Tích có hướng của hai véc-tơ \(\overrightarrow{AI}\) và \(\overrightarrow{AJ}\) sẽ cho ta một véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng \((AIJ)\). - \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AI} \times \overrightarrow{AJ}\) 4. Viết phương trình mặt phẳng: - Giả sử \(\overrightarrow{n} = (a, b, c)\), phương trình mặt phẳng \((AIJ)\) có dạng: \[ a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0 \] - Thay tọa độ của điểm \(A\) vào phương trình trên để có phương trình cụ thể. 5. Kiểm tra điều kiện: - Đảm bảo rằng điểm \(J\) không trùng với trung điểm của \(SC\) để xác nhận rằng \(J\) thực sự nằm trên \(SC\) nhưng không phải là trung điểm. Với các bước trên, ta có thể xác định được phương trình của mặt phẳng \((AIJ)\) trong không gian. Tuy nhiên, để có phương trình cụ thể, cần biết tọa độ cụ thể của các điểm \(A\), \(I\), và \(J\). Câu 2: Để biểu diễn hai mặt phẳng \((SMN)\) và \((SAC)\), ta cần xác định các vectơ pháp tuyến của chúng. Dưới đây là các bước lập luận chi tiết: Bước 1: Xác định mặt phẳng \((SMN)\) 1. Tìm vectơ \(\overrightarrow{SM}\) và \(\overrightarrow{SN}\): - Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\), do đó \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MD}\). - Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{NC}\). - Vectơ \(\overrightarrow{SM}\) có thể được biểu diễn thông qua các điểm \(S\) và \(M\). - Vectơ \(\overrightarrow{SN}\) có thể được biểu diễn thông qua các điểm \(S\) và \(N\). 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SMN)\): - Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1}\) của mặt phẳng \((SMN)\) có thể được tìm bằng tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{SM}\) và \(\overrightarrow{SN}\): \[ \overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{SM} \times \overrightarrow{SN} \] Bước 2: Xác định mặt phẳng \((SAC)\) 1. Tìm vectơ \(\overrightarrow{SA}\) và \(\overrightarrow{SC}\): - Vectơ \(\overrightarrow{SA}\) có thể được biểu diễn thông qua các điểm \(S\) và \(A\). - Vectơ \(\overrightarrow{SC}\) có thể được biểu diễn thông qua các điểm \(S\) và \(C\). 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAC)\): - Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2}\) của mặt phẳng \((SAC)\) có thể được tìm bằng tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{SA}\) và \(\overrightarrow{SC}\): \[ \overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{SC} \] Bước 3: Kết luận - Mặt phẳng \((SMN)\) được xác định bởi vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1}\). - Mặt phẳng \((SAC)\) được xác định bởi vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2}\). Như vậy, để biểu diễn hai mặt phẳng \((SMN)\) và \((SAC)\), ta cần xác định các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1}\) và \(\overrightarrow{n_2}\) thông qua các tích có hướng như đã trình bày ở trên. Câu 3: Để biểu diễn hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABN)\), ta cần xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng nằm trong các mặt phẳng này. Bước 1: Xác định mặt phẳng \((MBD)\) 1. Xác định điểm M và D: - M là trung điểm của AC, do đó \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MC}\). - Vectơ \(\overrightarrow{MD}\) có thể được biểu diễn thông qua \(\overrightarrow{M}\) và \(\overrightarrow{D}\). 2. Xác định vectơ chỉ phương của \((MBD)\): - Vectơ \(\overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MD}\) là hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((MBD)\). - Ta có thể viết: \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}\) và \(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{M}\). Bước 2: Xác định mặt phẳng \((ABN)\) 1. Xác định điểm N: - N là trung điểm của CD, do đó \(\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{ND}\). 2. Xác định vectơ chỉ phương của \((ABN)\): - Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AN}\) là hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((ABN)\). - Ta có thể viết: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\) và \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{A}\). Kết luận: - Mặt phẳng \((MBD)\) được xác định bởi hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MD}\). - Mặt phẳng \((ABN)\) được xác định bởi hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AN}\). Như vậy, ta đã biểu diễn được hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABN)\) thông qua các vectơ chỉ phương của chúng. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang. Dưới đây là các bước lập luận chi tiết: 1. Xác định hình thang ABCD: - Đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD và đáy nhỏ BC. - Theo giả thiết, ta có \( AD = 2BC \). 2. Tính chất của hình thang: - Trong hình thang, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O. - Điểm O là giao điểm của hai đường chéo, do đó O chia mỗi đường chéo thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với các đáy của hình thang. 3. Tính chất tỉ lệ: - Theo tính chất của hình thang, ta có: \[ \frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = 2 \] - Điều này có nghĩa là \( AO = 2 \times OC \). 4. Kết luận: - Giao điểm O chia đường chéo AC thành hai đoạn AO và OC sao cho \( AO = 2 \times OC \). - Tương tự, do tính chất đối xứng của hình thang, ta cũng có: \[ \frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{1}{2} \] - Điều này có nghĩa là \( BO = \frac{1}{2} \times OD \). Như vậy, chúng ta đã xác định được tỉ lệ các đoạn thẳng trên các đường chéo của hình thang ABCD. Các tính chất này có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến hình chóp S.ABCD, chẳng hạn như tính thể tích, tìm tọa độ điểm, hoặc các bài toán liên quan đến hình học không gian khác. Câu 5: Để biểu diễn hai mặt phẳng \((MSB)\) và \((SAC)\), ta cần xác định các điểm và đường thẳng liên quan trong không gian. Bước 1: Xác định các điểm và đường thẳng cơ bản - Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang \(ABCD\) với \(AD \parallel BC\). - \(M\) là trung điểm của \(CD\). Bước 2: Xác định mặt phẳng \((MSB)\) 1. Điểm M: Là trung điểm của \(CD\), do đó \(M\) nằm trên đoạn thẳng \(CD\). 2. Điểm S và B: Hai điểm này nằm trên mặt phẳng \((MSB)\) vì chúng là các điểm xác định mặt phẳng. 3. Đường thẳng MB: Kết nối hai điểm \(M\) và \(B\). 4. Đường thẳng MS: Kết nối hai điểm \(M\) và \(S\). Mặt phẳng \((MSB)\) được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng \(M\), \(S\), và \(B\). Bước 3: Xác định mặt phẳng \((SAC)\) 1. Điểm S, A, C: Ba điểm này xác định mặt phẳng \((SAC)\). 2. Đường thẳng SA: Kết nối hai điểm \(S\) và \(A\). 3. Đường thẳng SC: Kết nối hai điểm \(S\) và \(C\). 4. Đường thẳng AC: Kết nối hai điểm \(A\) và \(C\). Mặt phẳng \((SAC)\) được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng \(S\), \(A\), và \(C\). Kết luận - Mặt phẳng \((MSB)\) được xác định bởi các điểm \(M\), \(S\), và \(B\). - Mặt phẳng \((SAC)\) được xác định bởi các điểm \(S\), \(A\), và \(C\). Hai mặt phẳng này có điểm chung là điểm \(S\), và có thể cắt nhau theo một đường thẳng đi qua \(S\) nếu không song song. Để xác định chính xác đường giao tuyến, cần thêm thông tin về vị trí tương đối của các điểm và các cạnh của hình chóp. Câu 7: Để biểu diễn mặt phẳng \((GMN)\), ta cần tìm phương trình của mặt phẳng này thông qua các điểm \(G\), \(M\), và \(N\). Bước 1: Tìm tọa độ các điểm M, N, G Giả sử tọa độ của các điểm \(A, B, C, D\) lần lượt là \((x_1, y_1, z_1)\), \((x_2, y_2, z_2)\), \((x_3, y_3, z_3)\), \((x_4, y_4, z_4)\). - Tọa độ điểm \(M\): \(M\) là trung điểm của \(AD\), do đó tọa độ của \(M\) là: \[ M\left(\frac{x_1 + x_4}{2}, \frac{y_1 + y_4}{2}, \frac{z_1 + z_4}{2}\right) \] - Tọa độ điểm \(N\): \(N\) là trung điểm của \(AC\), do đó tọa độ của \(N\) là: \[ N\left(\frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}, \frac{z_1 + z_3}{2}\right) \] - Tọa độ điểm \(G\): \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\), do đó tọa độ của \(G\) là: \[ G\left(\frac{x_2 + x_3 + x_4}{3}, \frac{y_2 + y_3 + y_4}{3}, \frac{z_2 + z_3 + z_4}{3}\right) \] Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((GMN)\) Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((GMN)\), ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng này, đó là \(\overrightarrow{GM}\) và \(\overrightarrow{GN}\). - Vectơ \(\overrightarrow{GM}\): \[ \overrightarrow{GM} = \left(\frac{x_1 + x_4}{2} - \frac{x_2 + x_3 + x_4}{3}, \frac{y_1 + y_4}{2} - \frac{y_2 + y_3 + y_4}{3}, \frac{z_1 + z_4}{2} - \frac{z_2 + z_3 + z_4}{3}\right) \] - Vectơ \(\overrightarrow{GN}\): \[ \overrightarrow{GN} = \left(\frac{x_1 + x_3}{2} - \frac{x_2 + x_3 + x_4}{3}, \frac{y_1 + y_3}{2} - \frac{y_2 + y_3 + y_4}{3}, \frac{z_1 + z_3}{2} - \frac{z_2 + z_3 + z_4}{3}\right) \] - Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\) của mặt phẳng \((GMN)\): Được xác định bằng tích có hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{GM}\) và \(\overrightarrow{GN}\). Bước 3: Phương trình mặt phẳng \((GMN)\) Giả sử \(\overrightarrow{n} = (a, b, c)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((GMN)\). Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ a(x - x_G) + b(y - y_G) + c(z - z_G) = 0 \] Thay tọa độ của \(G\) vào, ta có phương trình mặt phẳng \((GMN)\). Kết luận: Phương trình mặt phẳng \((GMN)\) được xác định thông qua các bước trên. Việc tính toán cụ thể sẽ phụ thuộc vào tọa độ cụ thể của các điểm \(A, B, C, D\). Câu 8: Để biểu diễn hai mặt phẳng \((MNP)\) và \((CMP)\), ta cần tìm các vectơ pháp tuyến của chúng. Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) - Xét các điểm \(M, N, P\): - \(M\) là trung điểm của \(AB\), do đó \(M\) có tọa độ \(\vec{M} = \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{B})\). - \(N\) là điểm trên \(AC\) với \(AN = \frac{1}{4}AC\), do đó \(\vec{N} = \vec{A} + \frac{1}{4}(\vec{C} - \vec{A}) = \frac{3}{4}\vec{A} + \frac{1}{4}\vec{C}\). - \(P\) là điểm trên \(AD\) với \(AP = \frac{2}{3}AD\), do đó \(\vec{P} = \vec{A} + \frac{2}{3}(\vec{D} - \vec{A}) = \frac{1}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{D}\). - Tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((MNP)\): - \(\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \left(\frac{3}{4}\vec{A} + \frac{1}{4}\vec{C}\right) - \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{B}) = \frac{1}{4}\vec{A} - \frac{1}{2}\vec{B} + \frac{1}{4}\vec{C}\). - \(\vec{MP} = \vec{P} - \vec{M} = \left(\frac{1}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{D}\right) - \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{B}) = -\frac{1}{6}\vec{A} - \frac{1}{2}\vec{B} + \frac{2}{3}\vec{D}\). - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) là tích có hướng của \(\vec{MN}\) và \(\vec{MP}\): \[ \vec{n}_{MNP} = \vec{MN} \times \vec{MP} \] Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((CMP)\) - Xét các điểm \(C, M, P\): - \(C\) có tọa độ \(\vec{C}\). - \(M\) có tọa độ \(\vec{M} = \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{B})\). - \(P\) có tọa độ \(\vec{P} = \frac{1}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{D}\). - Tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((CMP)\): - \(\vec{CM} = \vec{M} - \vec{C} = \frac{1}{2}(\vec{A} + \vec{B}) - \vec{C} = \frac{1}{2}\vec{A} + \frac{1}{2}\vec{B} - \vec{C}\). - \(\vec{CP} = \vec{P} - \vec{C} = \left(\frac{1}{3}\vec{A} + \frac{2}{3}\vec{D}\right) - \vec{C} = \frac{1}{3}\vec{A} - \vec{C} + \frac{2}{3}\vec{D}\). - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((CMP)\) là tích có hướng của \(\vec{CM}\) và \(\vec{CP}\): \[ \vec{n}_{CMP} = \vec{CM} \times \vec{CP} \] Kết luận: - Mặt phẳng \((MNP)\) được xác định bởi vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{MNP}\). - Mặt phẳng \((CMP)\) được xác định bởi vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{CMP}\). Các vectơ pháp tuyến này có thể được tính cụ thể bằng cách thực hiện phép tính tích có hướng. Câu 9: Để giải quyết bài toán này, trước tiên chúng ta cần hình dung và vẽ hình chóp S.ABC trong không gian. Sau đó, xác định các điểm M, N, P là trung điểm của các đoạn thẳng SB, SA và AC tương ứng. Dưới đây là cách biểu diễn và giải quyết từng câu hỏi: Biểu diễn hình chóp S.ABC 1. Vẽ hình chóp S.ABC: - Đỉnh S nằm phía trên mặt phẳng đáy ABC. - Đáy ABC là một tam giác nằm trong mặt phẳng. 2. Xác định các trung điểm: - M là trung điểm của SB. - N là trung điểm của SA. - P là trung điểm của AC. a. Xác định các đoạn thẳng nét liền và nét đứt - Nét liền: Các đoạn thẳng có thể nhìn thấy trực tiếp từ góc nhìn của người quan sát. - Nét đứt: Các đoạn thẳng bị che khuất bởi các phần khác của hình chóp. Tùy thuộc vào góc nhìn, một cách biểu diễn thông thường có thể là: - Nét liền: SA, SB, AB, MN. - Nét đứt: SC, BC, CA. b. Đường thẳng MN có cắt đường thẳng AB hay không? - Xét vị trí của MN và AB: - MN là đoạn thẳng nối trung điểm của SA và SB. - AB là cạnh của đáy tam giác ABC. Do M và N lần lượt là trung điểm của SB và SA, nên MN là đường trung bình của tam giác SAB. Đường trung bình của một tam giác không cắt cạnh đáy của tam giác đó. Do đó, đường thẳng MN không cắt đường thẳng AB. c. Đường thẳng MB có cắt đường thẳng SC hay không? - Xét vị trí của MB và SC: - MB là đoạn thẳng nối trung điểm M của SB với điểm B. - SC là cạnh bên của hình chóp. Trong không gian, để hai đường thẳng cắt nhau, chúng phải nằm trong cùng một mặt phẳng. Tuy nhiên, MB nằm trong mặt phẳng chứa tam giác SAB, còn SC là một cạnh bên không nằm trong mặt phẳng này. Do đó, đường thẳng MB không cắt đường thẳng SC. Kết luận - Đường thẳng MN không cắt đường thẳng AB. - Đường thẳng MB không cắt đường thẳng SC. Lưu ý rằng cách biểu diễn hình có thể thay đổi tùy theo góc nhìn, nhưng các lập luận về việc cắt nhau của các đường thẳng dựa trên tính chất hình học không gian là không đổi. Câu 10: Để giải quyết các câu hỏi về vị trí tương đối của các đường thẳng trong hình chóp S.ABCD, chúng ta cần phân tích từng trường hợp một cách chi tiết. a. Đường thẳng MQ và đường thẳng SD có vị trí tương đối là gì? 1. Xác định vị trí của các điểm: - M là trung điểm của AC. - Q là trung điểm của CD. - E là trung điểm của SA. - H là trung điểm của SD. 2. Xét đường thẳng MQ: - MQ là đường trung bình của tam giác ACD, do đó MQ song song với AD và MQ = $\frac{1}{2}$ AD. 3. Xét đường thẳng SD: - SD là cạnh bên của hình chóp S.ABCD. 4. Vị trí tương đối của MQ và SD: - MQ song song với AD, trong khi SD là một cạnh bên của hình chóp không song song với đáy ABCD. Do đó, MQ và SD không song song và cũng không cắt nhau vì chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng. Vậy, MQ và SD là hai đường thẳng chéo nhau. b. Đường thẳng PQ và đường thẳng AC có vị trí tương đối là gì? 1. Xác định vị trí của các điểm: - P là trung điểm của BC. - Q là trung điểm của CD. 2. Xét đường thẳng PQ: - PQ là đường trung bình của tam giác BCD, do đó PQ song song với BD và PQ = $\frac{1}{2}$ BD. 3. Xét đường thẳng AC: - AC là đường chéo của đáy ABCD. 4. Vị trí tương đối của PQ và AC: - PQ song song với BD, trong khi AC là đường chéo của đáy ABCD. Do đó, PQ và AC không song song và cũng không cắt nhau vì chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng. Vậy, PQ và AC là hai đường thẳng chéo nhau. c. Đường thẳng PN và đường thẳng DC có vị trí tương đối là gì? 1. Xác định vị trí của các điểm: - P là trung điểm của BC. - N là trung điểm của BD. 2. Xét đường thẳng PN: - PN là đường trung bình của tam giác BCD, do đó PN song song với CD và PN = $\frac{1}{2}$ CD. 3. Xét đường thẳng DC: - DC là cạnh của đáy ABCD. 4. Vị trí tương đối của PN và DC: - PN song song với CD. Do đó, PN và DC là hai đường thẳng song song. Tóm lại: - a. MQ và SD là hai đường thẳng chéo nhau. - b. PQ và AC là hai đường thẳng chéo nhau. - c. PN và DC là hai đường thẳng song song.