Giúp mình với!

Câu 1: Để giải phương trình \(\sin2x + \sqrt{3}\cos2x + (2 + \sqrt{3})\sin x - \cos x = 1 + \sqrt{3}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Biến đổi \(\sin2x\) và \(\cos2x\): \[ \sin2x = 2\sin x \cos x \] \[ \cos2x = \cos^2 x - \sin^2 x \] 2. Thay các biểu thức này vào phương trình ban đầu: \[ 2\sin x \cos x + \sqrt{3}(\cos^2 x - \sin^2 x) + (2 + \sqrt{3})\sin x - \cos x = 1 + \sqrt{3} \] 3. Nhóm các hạng tử theo \(\sin x\) và \(\cos x\): \[ 2\sin x \cos x + \sqrt{3}\cos^2 x - \sqrt{3}\sin^2 x + (2 + \sqrt{3})\sin x - \cos x = 1 + \sqrt{3} \] 4. Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 2\sin x \cos x + \sqrt{3}\cos^2 x - \sqrt{3}\sin^2 x + (2 + \sqrt{3})\sin x - \cos x - 1 - \sqrt{3} = 0 \] 5. Phân tích và nhóm lại để dễ dàng giải quyết: \[ 2\sin x \cos x + \sqrt{3}\cos^2 x - \sqrt{3}\sin^2 x + (2 + \sqrt{3})\sin x - \cos x - 1 - \sqrt{3} = 0 \] 6. Sử dụng phương pháp biến đổi để tìm nghiệm: Ta nhận thấy rằng phương trình có thể được viết dưới dạng: \[ (\sin x + \cos x)(2\cos x + \sqrt{3}\sin x) + (2 + \sqrt{3})\sin x - \cos x - 1 - \sqrt{3} = 0 \] 7. Giải phương trình này bằng cách thử các giá trị đặc biệt của \(x\): - Thử \(x = 0\): \[ \sin 0 + \sqrt{3}\cos 0 + (2 + \sqrt{3})\sin 0 - \cos 0 = 1 + \sqrt{3} \] \[ 0 + \sqrt{3} \cdot 1 + 0 - 1 = 1 + \sqrt{3} \] \[ \sqrt{3} - 1 = 1 + \sqrt{3} \] Điều này không đúng, nên \(x = 0\) không phải là nghiệm. - Thử \(x = \frac{\pi}{6}\): \[ \sin \frac{\pi}{6} + \sqrt{3}\cos \frac{\pi}{6} + (2 + \sqrt{3})\sin \frac{\pi}{6} - \cos \frac{\pi}{6} = 1 + \sqrt{3} \] \[ \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3} \] \[ \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{2 + \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3} \] \[ \frac{1 + 3 + 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3} \] \[ \frac{6}{2} = 1 + \sqrt{3} \] \[ 3 = 1 + \sqrt{3} \] Điều này không đúng, nên \(x = \frac{\pi}{6}\) không phải là nghiệm. - Thử \(x = \frac{\pi}{4}\): \[ \sin \frac{\pi}{4} + \sqrt{3}\cos \frac{\pi}{4} + (2 + \sqrt{3})\sin \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{4} = 1 + \sqrt{3} \] \[ \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{3} \] \[ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{(2 + \sqrt{3})\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{3} \] \[ \frac{\sqrt{6} + (2 + \sqrt{3})\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{3} \] Điều này không đúng, nên \(x = \frac{\pi}{4}\) không phải là nghiệm. - Thử \(x = \frac{\pi}{3}\): \[ \sin \frac{\pi}{3} + \sqrt{3}\cos \frac{\pi}{3} + (2 + \sqrt{3})\sin \frac{\pi}{3} - \cos \frac{\pi}{3} = 1 + \sqrt{3} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} + (2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = 1 + \sqrt{3} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{(2 + \sqrt{3})\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = 1 + \sqrt{3} \] \[ \frac{2\sqrt{3} + (2 + \sqrt{3})\sqrt{3} - 1}{2} = 1 + \sqrt{3} \] \[ \frac{2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 3 - 1}{2} = 1 + \sqrt{3} \] \[ \frac{4\sqrt{3} + 2}{2} = 1 + \sqrt{3} \] \[ 2\sqrt{3} + 1 = 1 + \sqrt{3} \] Điều này không đúng, nên \(x = \frac{\pi}{3}\) không phải là nghiệm. - Thử \(x = \frac{\pi}{2}\): \[ \sin \frac{\pi}{2} + \sqrt{3}\cos \frac{\pi}{2} + (2 + \sqrt{3})\sin \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2} = 1 + \sqrt{3} \] \[ 1 + 0 + (2 + \sqrt{3}) \cdot 1 - 0 = 1 + \sqrt{3} \] \[ 1 + 2 + \sqrt{3} = 1 + \sqrt{3} \] Điều này đúng, nên \(x = \frac{\pi}{2}\) là nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Câu 2: Để phương trình $x^2 - 2mx + m^2 - 2m + 4 = 0$ có hai nghiệm không âm, ta cần đảm bảo rằng: 1. Phương trình có hai nghiệm thực. 2. Cả hai nghiệm đều không âm. Bước 1: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thực Phương trình $x^2 - 2mx + m^2 - 2m + 4 = 0$ có hai nghiệm thực nếu biệt thức $\Delta \geq 0$. Biệt thức $\Delta$ của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ là: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Trong trường hợp này, $a = 1$, $b = -2m$, và $c = m^2 - 2m + 4$. Do đó: \[ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 2m + 4) \] \[ \Delta = 4m^2 - 4(m^2 - 2m + 4) \] \[ \Delta = 4m^2 - 4m^2 + 8m - 16 \] \[ \Delta = 8m - 16 \] Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thực là: \[ 8m - 16 \geq 0 \] \[ 8m \geq 16 \] \[ m \geq 2 \] Bước 2: Đảm bảo cả hai nghiệm đều không âm Theo định lý Vi-ét, tổng và tích của hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ của phương trình $x^2 - 2mx + m^2 - 2m + 4 = 0$ là: \[ x_1 + x_2 = 2m \] \[ x_1 x_2 = m^2 - 2m + 4 \] Để cả hai nghiệm đều không âm, ta cần: \[ x_1 \geq 0 \quad \text{và} \quad x_2 \geq 0 \] Do $x_1 + x_2 = 2m$, nên $2m \geq 0$ suy ra $m \geq 0$. Kết hợp với điều kiện $m \geq 2$ từ bước 1, ta có: \[ m \geq 2 \] Bước 3: Tính giá trị của biểu thức $P = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}$ Ta có: \[ P = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} \] Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2 \leq 2(x_1 + x_2) \] \[ P^2 \leq 2 \cdot 2m \] \[ P^2 \leq 4m \] \[ P \leq 2\sqrt{m} \] Đẳng thức xảy ra khi $x_1 = x_2$, tức là khi phương trình có nghiệm kép. Điều này xảy ra khi $\Delta = 0$: \[ 8m - 16 = 0 \] \[ m = 2 \] Khi $m = 2$, phương trình trở thành: \[ x^2 - 4x + 4 = 0 \] \[ (x - 2)^2 = 0 \] \[ x = 2 \] Do đó, $x_1 = x_2 = 2$, và: \[ P = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \] Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$ Giá trị nhỏ nhất của $P$ là $2\sqrt{2}$, đạt được khi $m = 2$. Kết luận Các giá trị thực của $m$ sao cho phương trình có hai nghiệm không âm là $m \geq 2$. Giá trị của biểu thức $P = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}$ là $2\sqrt{m}$, và giá trị nhỏ nhất của $P$ là $2\sqrt{2}$, đạt được khi $m = 2$. Câu 3: Câu 1: Giải phương trình: \(\sqrt{3x+1} + \sqrt{5x+4} = 3x^2 - x + 3\) Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Để phương trình có nghĩa, các biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \[3x + 1 \geq 0 \quad \text{và} \quad 5x + 4 \geq 0\] \[x \geq -\frac{1}{3} \quad \text{và} \quad x \geq -\frac{4}{5}\] Do \(-\frac{1}{3} > -\frac{4}{5}\), nên ĐKXĐ là: \[x \geq -\frac{1}{3}\] Bước 2: Thử nghiệm các giá trị đơn giản Thử \(x = 0\): \[\sqrt{3(0) + 1} + \sqrt{5(0) + 4} = 3(0)^2 - 0 + 3\] \[\sqrt{1} + \sqrt{4} = 3\] \[1 + 2 = 3\] Phương trình đúng. Thử \(x = 1\): \[\sqrt{3(1) + 1} + \sqrt{5(1) + 4} = 3(1)^2 - 1 + 3\] \[\sqrt{4} + \sqrt{9} = 3 - 1 + 3\] \[2 + 3 = 5\] Phương trình đúng. Bước 3: Kiểm tra tính duy nhất của nghiệm Ta đã tìm thấy hai nghiệm \(x = 0\) và \(x = 1\). Để kiểm tra tính duy nhất, ta sẽ chứng minh rằng không còn nghiệm nào khác trong khoảng \(x \geq -\frac{1}{3}\). Xét hàm \(f(x) = \sqrt{3x+1} + \sqrt{5x+4} - (3x^2 - x + 3)\). Tính đạo hàm \(f'(x)\): \[f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}} + \frac{5}{2\sqrt{5x+4}} - (6x - 1)\] Do \(f'(x)\) là tổng của các hàm giảm (căn bậc hai) và một hàm tăng (đa thức), ta cần kiểm tra dấu của \(f'(x)\) để xác định tính đơn điệu của \(f(x)\). Nhận thấy rằng \(f'(x)\) sẽ âm trong khoảng \(x \geq -\frac{1}{3}\), do đó \(f(x)\) là hàm giảm trong khoảng này. Điều này có nghĩa là \(f(x)\) chỉ có thể cắt trục hoành tại nhiều nhất một điểm. Vì vậy, phương trình chỉ có hai nghiệm \(x = 0\) và \(x = 1\). Kết luận: Nghiệm của phương trình là: \[x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1\] Câu 2: Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2 + x^3y - xy^2 + xy - y = 1 \\ x^4 + y^2 - xy(2x - 1) = 1 \end{array} \right. \] Bước 1: Đặt ẩn phụ Đặt \(u = x^2\) và \(v = y\). Hệ phương trình trở thành: \[ \left\{ \begin{array}{l} u + xu^2 - xv^2 + xv - v = 1 \\ u^2 + v^2 - xv(2x - 1) = 1 \end{array} \right. \] Bước 2: Giải hệ phương trình Từ phương trình thứ nhất: \[u + xu^2 - xv^2 + xv - v = 1\] Từ phương trình thứ hai: \[u^2 + v^2 - xv(2x - 1) = 1\] Bước 3: Tìm nghiệm cụ thể Thử \(x = 1\) và \(y = 1\): \[1^2 + 1^3 \cdot 1 - 1 \cdot 1^2 + 1 \cdot 1 - 1 = 1\] \[1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 1\] Phương trình thứ nhất đúng. \[1^4 + 1^2 - 1 \cdot 1(2 \cdot 1 - 1) = 1\] \[1 + 1 - 1 = 1\] Phương trình thứ hai đúng. Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là: \[x = 1 \quad \text{và} \quad y = 1\] Câu 4: Trước hết, ta tính tổng số các số tự nhiên có 4 chữ số: - Chữ số hàng nghìn có thể là 1, 2, 3, ..., 9 (9 lựa chọn) - Chữ số hàng trăm có thể là 0, 1, 2, ..., 9 (10 lựa chọn) - Chữ số hàng chục có thể là 0, 1, 2, ..., 9 (10 lựa chọn) - Chữ số hàng đơn vị có thể là 0, 1, 2, ..., 9 (10 lựa chọn) Tổng số các số tự nhiên có 4 chữ số là: \[ 9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000 \] Bây giờ, ta sẽ tính số các số tự nhiên có 4 chữ số mà có ít nhất một chữ số lặp lại đúng 3 lần. Trường hợp 1: Có một chữ số lặp lại đúng 3 lần. Giả sử chữ số lặp lại là \(a\). Ta có các trường hợp sau: - Số có dạng \(aaab\), \(aaba\), \(abaa\), \(baaa\) (4 dạng khác nhau). Trong đó: - \(a\) có thể là 1, 2, ..., 9 (9 lựa chọn). - \(b\) có thể là 0, 1, ..., 9 ngoại trừ \(a\) (9 lựa chọn). Số các số có dạng này là: \[ 4 \times 9 \times 9 = 324 \] Trường hợp 2: Có hai chữ số lặp lại đúng 3 lần. Giả sử hai chữ số lặp lại là \(a\) và \(b\). Ta có các trường hợp sau: - Số có dạng \(aaab\), \(aaba\), \(abaa\), \(baaa\) (4 dạng khác nhau). Trong đó: - \(a\) có thể là 1, 2, ..., 9 (9 lựa chọn). - \(b\) có thể là 0, 1, ..., 9 ngoại trừ \(a\) (9 lựa chọn). Số các số có dạng này là: \[ 4 \times 9 \times 9 = 324 \] Tổng số các số tự nhiên có 4 chữ số mà có ít nhất một chữ số lặp lại đúng 3 lần là: \[ 324 + 324 = 648 \] Cuối cùng, ta tính số các số tự nhiên có 4 chữ số mà không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần: \[ 9000 - 648 = 8352 \] Vậy, số các số tự nhiên có 4 chữ số mà không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần là: \[ \boxed{8352} \] Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn (T). Phương trình đường tròn (T) là: \[ x^2 + y^2 - 6x - 4y - 12 = 0. \] Ta đưa phương trình về dạng chuẩn bằng cách hoàn thành bình phương: - Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\): \[ x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9. \] - Nhóm các hạng tử liên quan đến \(y\): \[ y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4. \] Thay vào phương trình ban đầu, ta có: \[ (x - 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 - 12 = 0. \] Rút gọn, ta được: \[ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25. \] Vậy, đường tròn (T) có tâm \(C(3, 2)\) và bán kính \(R = 5\). Bước 2: Xác định vị trí của điểm I(1, 1) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, nên I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác ABC. Do đó, I phải nằm trong tam giác ABC. Bước 3: Tìm phương trình đường thẳng BC. Vì I(1, 1) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, nên I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác ABC. Để tìm phương trình đường thẳng BC, ta cần sử dụng tính chất đối xứng của tam giác. Do A(-1, -1) là một đỉnh của tam giác và I(1, 1) là tâm đường tròn nội tiếp, ta có thể sử dụng tính chất đối xứng để tìm phương trình đường thẳng BC. Đường thẳng BC phải đi qua điểm đối xứng của A qua I. Tọa độ điểm đối xứng của A qua I là: \[ A'(x', y') = (2 \times 1 - (-1), 2 \times 1 - (-1)) = (3, 3). \] Vì B và C thuộc đường tròn (T), nên đường thẳng BC phải đi qua điểm A'(3, 3) và có thể viết dưới dạng: \[ y - 3 = m(x - 3). \] Bước 4: Xác định hệ số góc m. Để xác định m, ta cần thêm điều kiện từ bài toán. Tuy nhiên, bài toán không cung cấp thêm điều kiện cụ thể nào khác, nên ta chỉ có thể xác định phương trình đường thẳng BC đi qua điểm A'(3, 3) và có dạng: \[ y = m(x - 3) + 3. \] Kết luận: Phương trình đường thẳng BC có dạng: \[ y = m(x - 3) + 3, \] với \(m\) là hệ số góc cần xác định thêm từ điều kiện cụ thể khác nếu có. Câu 6: Để xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) với hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Giả sử hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng \( a \) và tọa độ các đỉnh như sau: - \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C(a, a, 0) \), \( D(0, a, 0) \) - \( A'(0, 0, a) \), \( B'(a, 0, a) \), \( C'(a, a, a) \), \( D'(0, a, a) \) - Trung điểm M của đoạn AD có tọa độ: \[ M\left(0, \frac{a}{2}, 0\right) \] - Trung điểm N của đoạn BB' có tọa độ: \[ N\left(a, 0, \frac{a}{2}\right) \] - Trung điểm P của đoạn C'D' có tọa độ: \[ P\left(0, a, \frac{a}{2}\right) \] 2. Viết phương trình mặt phẳng (MNP): - Mặt phẳng (MNP) đi qua ba điểm M, N, P. Ta cần tìm phương trình mặt phẳng này. - Vector \(\overrightarrow{MN} = \left(a, -\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)\) - Vector \(\overrightarrow{MP} = \left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)\) - Vector pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) là tích có hướng của \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{MP}\): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MP} = \left(\frac{a^2}{4}, -\frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2}\right) \] - Phương trình mặt phẳng (MNP) là: \[ \frac{a^2}{4}x - \frac{a^2}{2}y + \frac{a^2}{2}z = 0 \] - Rút gọn phương trình: \[ x - 2y + 2z = 0 \] 3. Xác định thiết diện: - Thiết diện là giao của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình lập phương. - Xét giao điểm của mặt phẳng với các cạnh của hình lập phương: - Giao với mặt \( ABCD \) (z = 0): \( x - 2y = 0 \) \(\Rightarrow\) đường thẳng qua \( A(0,0,0) \) và \( C(a,a,0) \). - Giao với mặt \( A'B'C'D' \) (z = a): \( x - 2y + 2a = 0 \) \(\Rightarrow\) đường thẳng qua \( B'(a,0,a) \) và \( D'(0,a,a) \). - Giao với mặt \( ABB'A' \) (x = a): \( -2y + 2z = -a \) \(\Rightarrow\) đường thẳng qua \( N(a,0,\frac{a}{2}) \) và \( B'(a,0,a) \). - Giao với mặt \( ADD'A' \) (x = 0): \( -2y + 2z = 0 \) \(\Rightarrow\) đường thẳng qua \( M(0,\frac{a}{2},0) \) và \( P(0,a,\frac{a}{2}) \). 4. Tính diện tích thiết diện: - Thiết diện là một hình bình hành với các đỉnh \( A, C, B', D' \). - Diện tích hình bình hành: \[ S = \left|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD'}\right| \] - Vector \(\overrightarrow{AC} = (a, a, 0)\), \(\overrightarrow{AD'} = (0, a, a)\). - Tích có hướng: \[ \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD'} = (a^2, -a^2, a^2) \] - Độ dài: \[ \left|\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD'}\right| = \sqrt{a^4 + a^4 + a^4} = a^2\sqrt{3} \] - Diện tích thiết diện là: \[ S = a^2\sqrt{3} \] Vậy diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) với hình lập phương là \( a^2\sqrt{3} \).