Giúp mìh vs ạ

Câu 34. Để tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \( y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x^2 + 3x + 3)'(x + 2) - (x^2 + 3x + 3)(x + 2)'}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{(2x + 3)(x + 2) - (x^2 + 3x + 3)}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 4x + 3x + 6 - x^2 - 3x - 3}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} \] 2. Tìm điểm cực trị: Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} = 0 \] \[ (x + 1)(x + 3) = 0 \] \[ x = -1 \text{ hoặc } x = -3 \] 3. Xác định tính chất cực trị: - Tại \( x = -1 \): \[ y'' = \left( \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y'' = \frac{((x + 1)(x + 3))'(x + 2)^2 - ((x + 1)(x + 3))((x + 2)^2)'}{(x + 2)^4} \] \[ y'' = \frac{(2x + 4)(x + 2)^2 - 2(x + 1)(x + 3)(x + 2)}{(x + 2)^4} \] \[ y'' = \frac{2(x + 2)((x + 2) - (x + 1)(x + 3))}{(x + 2)^4} \] \[ y'' = \frac{2((x + 2) - (x^2 + 4x + 3))}{(x + 2)^3} \] \[ y'' = \frac{2(-x^2 - 2x - 1)}{(x + 2)^3} \] \[ y'' = \frac{-2(x + 1)^2}{(x + 2)^3} \] Tại \( x = -1 \): \[ y'' = \frac{-2(-1 + 1)^2}{(-1 + 2)^3} = 0 \] Do đó, \( x = -1 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = -3 \): \[ y'' = \frac{-2(-3 + 1)^2}{(-3 + 2)^3} = \frac{-2(4)}{(-1)^3} = 8 > 0 \] Do đó, \( x = -3 \) là điểm cực tiểu. 4. Tính giá trị cực đại và cực tiểu: - Tại \( x = -1 \): \[ y = \frac{(-1)^2 + 3(-1) + 3}{-1 + 2} = \frac{1 - 3 + 3}{1} = 1 \] - Tại \( x = -3 \): \[ y = \frac{(-3)^2 + 3(-3) + 3}{-3 + 2} = \frac{9 - 9 + 3}{-1} = -3 \] 5. Tính giá trị của biểu thức \( M^2 - 2m \): \[ M = 1, \quad m = -3 \] \[ M^2 - 2m = 1^2 - 2(-3) = 1 + 6 = 7 \] Vậy giá trị của biểu thức \( M^2 - 2m \) là \( 7 \). Câu 35. Để tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần xác định các giá trị Q1 (tứ phân vị thứ nhất) và Q3 (tứ phân vị thứ ba). Sau đó, khoảng tứ phân vị sẽ là Q3 - Q1. Bước 1: Xác định tổng số lượng học sinh. Tổng số học sinh = 2 + 10 + 16 + 8 + 2 + 2 = 40 học sinh. Bước 2: Xác định vị trí của Q1 và Q3. - Vị trí của Q1 = (40 + 1) / 4 = 10.25 (vị trí thứ 10.25 trong dãy số) - Vị trí của Q3 = 3 (40 + 1) / 4 = 30.75 (vị trí thứ 30.75 trong dãy số) Bước 3: Tìm giá trị tương ứng của Q1 và Q3. - Q1 nằm trong khoảng [40; 50) vì vị trí 10.25 nằm giữa 2 và 12 (2 + 10). - Q3 nằm trong khoảng [60; 70) vì vị trí 30.75 nằm giữa 28 và 36 (2 + 10 + 16 + 8). Bước 4: Áp dụng công thức để tính Q1 và Q3. - Công thức tính Q1: \[ Q1 = 40 + \left( \frac{10.25 - 2}{10} \right) \times 10 = 40 + 8.25 = 48.25 \] - Công thức tính Q3: \[ Q3 = 60 + \left( \frac{30.75 - 28}{8} \right) \times 10 = 60 + 3.4375 = 63.4375 \] Bước 5: Tính khoảng tứ phân vị. \[ Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 63.4375 - 48.25 = 15.1875 \] Làm tròn đến hàng phần mười, ta có: \[ Khoảng tứ phân vị = 15.2 \] Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 15.2 phút. Câu 36. Điểm \( M \in Oy \) nên tọa độ của \( M \) có dạng \( M(0; y; 0) \). Ta tính \( MA^2 \) và \( MB^2 \): \[ MA^2 = (2 - 0)^2 + (3 - y)^2 + (1 - 0)^2 = 4 + (3 - y)^2 + 1 = 5 + (3 - y)^2 \] \[ MB^2 = (3 - 0)^2 + (-4 - y)^2 + (1 - 0)^2 = 9 + (-4 - y)^2 + 1 = 10 + (-4 - y)^2 \] Biểu thức \( T \) được viết lại là: \[ T = 2MA^2 + MB^2 = 2(5 + (3 - y)^2) + (10 + (-4 - y)^2) \] \[ T = 10 + 2(3 - y)^2 + 10 + (-4 - y)^2 \] \[ T = 20 + 2(3 - y)^2 + (-4 - y)^2 \] Phát triển các bình phương: \[ T = 20 + 2(9 - 6y + y^2) + (16 + 8y + y^2) \] \[ T = 20 + 18 - 12y + 2y^2 + 16 + 8y + y^2 \] \[ T = 20 + 18 + 16 + 2y^2 + y^2 - 12y + 8y \] \[ T = 54 + 3y^2 - 4y \] Để \( T \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta tìm đạo hàm của \( T \) theo \( y \) và đặt nó bằng 0: \[ \frac{dT}{dy} = 6y - 4 \] \[ 6y - 4 = 0 \] \[ 6y = 4 \] \[ y = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.67 \] Vậy tung độ của điểm \( M \) là \( y = 0.67 \). Đáp số: \( y = 0.67 \)