Giúp mình với

Câu 1: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong tam giác đều ABC, đường trung tuyến AM cũng là đường cao và đường phân giác của góc A. Do đó, M là trung điểm của BC, và ta có BM = MC = $\frac{a}{2}$. Bây giờ, ta sẽ tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM}|$. 1. Tìm $\overrightarrow{AM}$: Vì M là trung điểm của BC, ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} \] 2. Tính $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM}$: Thay $\overrightarrow{AM}$ vào biểu thức: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} \] Nhân cả hai vế với 2 để tiện tính toán: \[ 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM}) = 2\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \] \[ 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM}) = 3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] Chia cả hai vế cho 2: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM} = \frac{3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} \] 3. Tính độ dài $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM}|$: Ta biết rằng trong tam giác đều, góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là 60°. Ta sử dụng công thức tính độ dài tổng của hai vectơ: \[ |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + |\overrightarrow{v}|^2 + 2|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos(\theta)} \] Ở đây, $\overrightarrow{u} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{v} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, và góc giữa chúng vẫn là 60°. Độ dài của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ đều là $a$, nên: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM}| = \left| \frac{3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right| \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{(3a)^2 + a^2 + 2 \cdot 3a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{9a^2 + a^2 + 2 \cdot 3a \cdot a \cdot \frac{1}{2}} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{9a^2 + a^2 + 3a^2} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{13a^2} \] \[ = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{13} \] \[ = \frac{a\sqrt{13}}{2} \] Vậy, $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM}| = \frac{a\sqrt{13}}{2}$. Câu 2: Trước tiên, ta xác định tọa độ các điểm trong hình vuông ABCD. - Điểm A có tọa độ $(0, 0)$. - Điểm B có tọa độ $(2a\sqrt{2}, 0)$. - Điểm C có tọa độ $(2a\sqrt{2}, 2a\sqrt{2})$. - Điểm D có tọa độ $(0, 2a\sqrt{2})$. M là trung điểm của đoạn thẳng AB, nên tọa độ của M là: \[ M = \left( \frac{0 + 2a\sqrt{2}}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (a\sqrt{2}, 0) \] N nằm trên đoạn AC và $AN = 3NC$. Ta sẽ tìm tọa độ của N. Đường thẳng AC có phương trình: \[ y = x \] Do $AN = 3NC$, ta có: \[ \frac{AN}{NC} = 3 \] \[ \frac{AN}{AC - AN} = 3 \] \[ AN = 3NC \] \[ AN = \frac{3}{4}AC \] Tọa độ của N là: \[ N = \left( \frac{3}{4} \times 2a\sqrt{2}, \frac{3}{4} \times 2a\sqrt{2} \right) = \left( \frac{3a\sqrt{2}}{2}, \frac{3a\sqrt{2}}{2} \right) \] Bây giờ, ta tính các vectơ $\overrightarrow{DN}$ và $\overrightarrow{MN}$. Vectơ $\overrightarrow{DN}$: \[ \overrightarrow{DN} = \left( \frac{3a\sqrt{2}}{2} - 0, \frac{3a\sqrt{2}}{2} - 2a\sqrt{2} \right) = \left( \frac{3a\sqrt{2}}{2}, -\frac{a\sqrt{2}}{2} \right) \] Vectơ $\overrightarrow{MN}$: \[ \overrightarrow{MN} = \left( \frac{3a\sqrt{2}}{2} - a\sqrt{2}, \frac{3a\sqrt{2}}{2} - 0 \right) = \left( \frac{a\sqrt{2}}{2}, \frac{3a\sqrt{2}}{2} \right) \] Cuối cùng, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{DN} \cdot \overrightarrow{MN}$: \[ \overrightarrow{DN} \cdot \overrightarrow{MN} = \left( \frac{3a\sqrt{2}}{2} \right) \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right) + \left( -\frac{a\sqrt{2}}{2} \right) \left( \frac{3a\sqrt{2}}{2} \right) \] \[ = \frac{3a^2 \cdot 2}{4} - \frac{3a^2 \cdot 2}{4} \] \[ = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \] \[ = 0 \] Vậy $\overrightarrow{DN} \cdot \overrightarrow{MN} = 0$. Câu 3: a) Ta có: \[ \overrightarrow{AC} = (-1 - 1; -2 - 2) = (-2; -4) \] \[ \overrightarrow{BE} = (a - 3; 1 - 4) = (a - 3; -3) \] Để $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương, ta cần: \[ \frac{-2}{a - 3} = \frac{-4}{-3} \] Giải phương trình này: \[ \frac{-2}{a - 3} = \frac{4}{3} \] Nhân cả hai vế với $(a - 3)$ và 3: \[ -2 \cdot 3 = 4 \cdot (a - 3) \] \[ -6 = 4a - 12 \] Di chuyển các số hạng: \[ 4a = 6 \] \[ a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] Vậy $a = \frac{3}{2}$. b) Với $a = \frac{3}{2}$, ta có: \[ E\left(\frac{3}{2}; 1\right) \] Ta cần biểu thị $\overrightarrow{AE}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2) \] \[ \overrightarrow{AC} = (-2; -4) \] \[ \overrightarrow{AE} = \left(\frac{3}{2} - 1; 1 - 2\right) = \left(\frac{1}{2}; -1\right) \] Gọi $\overrightarrow{AE} = m \overrightarrow{AB} + n \overrightarrow{AC}$, ta có: \[ \left(\frac{1}{2}; -1\right) = m (2; 2) + n (-2; -4) \] Tách thành hai phương trình: \[ \frac{1}{2} = 2m - 2n \] \[ -1 = 2m - 4n \] Giải hệ phương trình này: \[ 2m - 2n = \frac{1}{2} \quad \text{(1)} \] \[ 2m - 4n = -1 \quad \text{(2)} \] Trừ phương trình (1) từ phương trình (2): \[ (2m - 4n) - (2m - 2n) = -1 - \frac{1}{2} \] \[ -2n = -\frac{3}{2} \] \[ n = \frac{3}{4} \] Thay $n = \frac{3}{4}$ vào phương trình (1): \[ 2m - 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \] \[ 2m - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \] \[ 2m = 2 \] \[ m = 1 \] Vậy: \[ \overrightarrow{AE} = 1 \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4} \cdot \overrightarrow{AC} \] Đáp số: a) $a = \frac{3}{2}$ b) $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AC}$ Câu 4: a) Tìm số trung bình và số trung vị của mẫu số liệu: - Số trung bình: \[ \bar{x} = \frac{163 + 165 + 159 + 172 + 167 + 168 + 192 + 161 + 164 + 174 + 170 + 166}{12} = \frac{1981}{12} \approx 165.08 \] - Số trung vị: Sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần: 159, 161, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 170, 172, 174, 192 Vì có 12 giá trị, số trung vị là trung bình của hai giá trị ở giữa: \[ Q_2 = \frac{166 + 167}{2} = 166.5 \] b) Tìm độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị và giá trị bất thường: - Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{\frac{(163 - 165.08)^2 + (165 - 165.08)^2 + ... + (192 - 165.08)^2}{12}} \approx 9.16 \] - Khoảng tứ phân vị: Tìm Q1 và Q3: - Q1 (tứ phân vị thứ nhất): Giá trị ở vị trí $\frac{12+1}{4} = 3.25$, tức là trung bình của giá trị thứ 3 và thứ 4: \[ Q_1 = \frac{163 + 164}{2} = 163.5 \] - Q3 (tứ phân vị thứ ba): Giá trị ở vị trí $3 \times \frac{12+1}{4} = 9.75$, tức là trung bình của giá trị thứ 9 và thứ 10: \[ Q_3 = \frac{170 + 172}{2} = 171 \] Khoảng tứ phân vị: \[ IQR = Q_3 - Q_1 = 171 - 163.5 = 7.5 \] - Giá trị bất thường: Giá trị bất thường nằm ngoài khoảng: \[ Q_1 - 1.5 \times IQR = 163.5 - 1.5 \times 7.5 = 153.75 \] \[ Q_3 + 1.5 \times IQR = 171 + 1.5 \times 7.5 = 182.25 \] Do đó, giá trị 192 là giá trị bất thường vì nó lớn hơn 182.25. Đáp số: a) Số trung bình: 165.08, Số trung vị: 166.5 b) Độ lệch chuẩn: 9.16, Khoảng tứ phân vị: 7.5, Giá trị bất thường: 192 Câu 5: a) Tìm số trung bình và số trung vị của mẫu số liệu: - Số trung bình: \[ \bar{x} = \frac{(8 \times 1) + (19 \times 10) + (20 \times 15) + (21 \times 17) + (22 \times 3)}{46} = \frac{8 + 190 + 300 + 357 + 66}{46} = \frac{921}{46} = 20.02 \] - Số trung vị: Mẫu số liệu có 46 giá trị, do đó số trung vị nằm giữa giá trị thứ 23 và 24. Ta thấy rằng trong dãy số đã sắp xếp, giá trị thứ 23 và 24 đều là 20. Vậy số trung vị là: \[ Med = 20 \] b) Tìm độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị và giá trị bất thường của mẫu số liệu: - Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}} \] Tính tổng bình phương các sai số: \[ (8 - 20.02)^2 + (19 - 20.02)^2 \times 10 + (20 - 20.02)^2 \times 15 + (21 - 20.02)^2 \times 17 + (22 - 20.02)^2 \times 3 \] \[ = (-12.02)^2 + (-1.02)^2 \times 10 + (-0.02)^2 \times 15 + (0.98)^2 \times 17 + (1.98)^2 \times 3 \] \[ = 144.4804 + 10.404 + 0.06 + 16.1208 + 11.7612 \] \[ = 182.8264 \] \[ s = \sqrt{\frac{182.8264}{45}} = \sqrt{4.0628} \approx 2.016 \] - Khoảng tứ phân vị: Tìm Q1 và Q3: Q1 là số trung vị của nửa dưới (23 giá trị đầu tiên): \[ Q1 = 19 \] Q3 là số trung vị của nửa trên (23 giá trị cuối cùng): \[ Q3 = 21 \] Khoảng tứ phân vị: \[ IQR = Q3 - Q1 = 21 - 19 = 2 \] - Giá trị bất thường: Giá trị bất thường nằm ngoài khoảng: \[ Q1 - 1.5 \times IQR \text{ và } Q3 + 1.5 \times IQR \] \[ 19 - 1.5 \times 2 = 16 \] \[ 21 + 1.5 \times 2 = 24 \] Do đó, giá trị bất thường là 8 (vì nó nhỏ hơn 16). Kết luận: - Số trung bình: 20.02 - Số trung vị: 20 - Độ lệch chuẩn: 2.016 - Khoảng tứ phân vị: 2 - Giá trị bất thường: 8 Câu 6: a) Kết quả trung bình của hai bạn có bằng nhau không? - Kết quả trung bình của bạn Huy: \[ \text{Trung bình Huy} = \frac{2,2 + 2,5 + 2,4 + 2,6 + 2,3}{5} = \frac{12}{5} = 2,4 \text{ mét} \] - Kết quả trung bình của bạn Tùng: \[ \text{Trung bình Tùng} = \frac{2,0 + 2,8 + 2,5 + 2,4 + 2,3}{5} = \frac{12}{5} = 2,4 \text{ mét} \] Như vậy, kết quả trung bình của hai bạn bằng nhau, đều là 2,4 mét. b) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên. - Sắp xếp kết quả của bạn Huy theo thứ tự tăng dần: 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6 - Sắp xếp kết quả của bạn Tùng theo thứ tự tăng dần: 2,0; 2,3; 2,4; 2,5; 2,8 - Tìm Q1 (tứ phân vị thứ nhất) và Q3 (tứ phân vị thứ ba) cho mỗi bạn: - Bạn Huy: - Q1 = 2,3 (số ở vị trí $\frac{5+1}{4} = 1,5$, lấy trung bình giữa 2,2 và 2,3) - Q3 = 2,5 (số ở vị trí $\frac{3(5+1)}{4} = 4,5$, lấy trung bình giữa 2,5 và 2,6) - Bạn Tùng: - Q1 = 2,3 (số ở vị trí $\frac{5+1}{4} = 1,5$, lấy trung bình giữa 2,0 và 2,3) - Q3 = 2,5 (số ở vị trí $\frac{3(5+1)}{4} = 4,5$, lấy trung bình giữa 2,5 và 2,8) - Khoảng tứ phân vị của bạn Huy: \[ Q3 - Q1 = 2,5 - 2,3 = 0,2 \text{ mét} \] - Khoảng tứ phân vị của bạn Tùng: \[ Q3 - Q1 = 2,5 - 2,3 = 0,2 \text{ mét} \] c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần nhảy xa của mỗi bạn. - Phương sai và độ lệch chuẩn của bạn Huy: - Tính phương sai: \[ s^2_{Huy} = \frac{(2,2 - 2,4)^2 + (2,5 - 2,4)^2 + (2,4 - 2,4)^2 + (2,6 - 2,4)^2 + (2,3 - 2,4)^2}{5} = \frac{0,04 + 0,01 + 0 + 0,04 + 0,01}{5} = \frac{0,1}{5} = 0,02 \] - Độ lệch chuẩn: \[ s_{Huy} = \sqrt{0,02} \approx 0,141 \text{ mét} \] - Phương sai và độ lệch chuẩn của bạn Tùng: - Tính phương sai: \[ s^2_{Tùng} = \frac{(2,0 - 2,4)^2 + (2,8 - 2,4)^2 + (2,5 - 2,4)^2 + (2,4 - 2,4)^2 + (2,3 - 2,4)^2}{5} = \frac{0,16 + 0,16 + 0,01 + 0 + 0,01}{5} = \frac{0,34}{5} = 0,068 \] - Độ lệch chuẩn: \[ s_{Tùng} = \sqrt{0,068} \approx 0,261 \text{ mét} \] Đáp số: a) Kết quả trung bình của hai bạn bằng nhau, đều là 2,4 mét. b) Khoảng tứ phân vị của bạn Huy và bạn Tùng đều là 0,2 mét. c) Phương sai và độ lệch chuẩn của bạn Huy là 0,02 và 0,141 mét; Phương sai và độ lệch chuẩn của bạn Tùng là 0,068 và 0,261 mét.