Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S= A.e^rt,trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng ( r 0 ), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Để số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi thì thời gian tăng trưởng t gần với kết quả nào sau đây nhất.

Question

Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S= A.e^rt,trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng ( r > 0 ), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Để số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi thì thời gian tăng trưởng t gần với kết quả nào sau đây nhất.

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm thời gian $ t $ để số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi từ 100 con lên 200 con. Chúng ta biết rằng số lượng vi khuẩn tuân theo công thức $ S = A e^{rt} $.

Bước 1: Xác định các thông tin đã cho:
- Số lượng vi khuẩn ban đầu $ A = 100 $ con.
- Sau 5 giờ, số lượng vi khuẩn là 300 con.

Bước 2: Tìm tỉ lệ tăng trưởng $ r $:
Ta có $ S = A e^{rt} $. Thay các giá trị đã cho vào công thức:
$$ 300 = 100 e^{5r} $$
$$ 3 = e^{5r} $$

Lấy logarit tự nhiên hai vế:
$$ \ln(3) = \ln(e^{5r}) $$
$$ \ln(3) = 5r $$
$$ r = \frac{\ln(3)}{5} $$

Bước 3: Tìm thời gian $ t $ để số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi:
Ta cần tìm $ t $ sao cho $ S = 2A $:
$$ 200 = 100 e^{rt} $$
$$ 2 = e^{rt} $$

Thay $ r = \frac{\ln(3)}{5} $ vào phương trình:
$$ 2 = e^{\left(\frac{\ln(3)}{5}\right)t} $$

Lấy logarit tự nhiên hai vế:
$$ \ln(2) = \ln\left(e^{\left(\frac{\ln(3)}{5}\right)t}\right) $$
$$ \ln(2) = \left(\frac{\ln(3)}{5}\right)t $$
$$ t = \frac{5 \ln(2)}{\ln(3)} $$

Bước 4: Tính giá trị của $ t $:
$$ t = \frac{5 \ln(2)}{\ln(3)} \approx \frac{5 \times 0.6931}{1.0986} \approx \frac{3.4655}{1.0986} \approx 3.15 \text{ giờ} $$

Vậy thời gian tăng trưởng $ t $ gần với kết quả 3.15 giờ nhất.

Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S= A.e^rt,trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng ( r > 0 ), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban...