Giúp em gấp mn oi Câu 1,Cho hàm số $f(x)=x\sqrt{9-x^2}.$,Chọn đúng hoặc sai,a) Phương trình $2f(x)-1=0$ có ba,Đúng Sai,nghiệm phân biệt.,b) Hàm số đã cho có đạo hàm,$f^\prime(x)=\frac{9-2x^2}{\sqrt{9-x^2}}(-3

Question

Giúp em gấp mn oi Câu 1,Cho hàm số $f(x)=x\sqrt{9-x^2}.$,Chọn đúng hoặc sai,a) Phương trình $2f(x)-1=0$ có ba,Đúng Sai,nghiệm phân biệt.,b) Hàm số đã cho có đạo hàm,$f^\prime(x)=\frac{9-2x^2}{\sqrt{9-x^2}}(-3<x<3).$,Đúng Sai,c) Tập xác định của hàm số đã cho là,Đúng Sai,$D=(-3;3).$,d) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là,$\frac92.$ Đúng

Accepted Answer

a) Xét phương trình $2f(x) - 1 = 0$
$2x\sqrt{9-x^2} - 1 = 0$
$x\sqrt{9-x^2} = \frac{1}{2}$
Đặt $t = \sqrt{9-x^2}$, ta có:
$x^2 + t^2 = 9$
$x^2 = 9 - t^2$
Thay vào phương trình ban đầu:
$(9-t^2)t = \frac{1}{2}$
$9t - t^3 = \frac{1}{2}$
$t^3 - 9t + \frac{1}{2} = 0$
Phương trình này có ba nghiệm phân biệt vì nó là một phương trình bậc ba có hệ số a > 0 và có ba nghiệm thực. Do đó, phương trình $2f(x) - 1 = 0$ có ba nghiệm phân biệt.
Đáp án: Đúng

b) Xét đạo hàm của hàm số $f(x) = x\sqrt{9-x^2}$
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x\sqrt{9-x^2})$
Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích:
$f'(x) = \sqrt{9-x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{9-x^2})$
$f'(x) = \sqrt{9-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{9-x^2}}$
$f'(x) = \sqrt{9-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}$
$f'(x) = \frac{(9-x^2) - x^2}{\sqrt{9-x^2}}$
$f'(x) = \frac{9-2x^2}{\sqrt{9-x^2}}$
Đáp án: Đúng

c) Tập xác định của hàm số $f(x) = x\sqrt{9-x^2}$ là các giá trị của x sao cho biểu thức dưới dấu căn không âm:
$9 - x^2 \geq 0$
$x^2 \leq 9$
$-3 \leq x \leq 3$
Tập xác định của hàm số là $D = [-3, 3]$.
Đáp án: Sai

d) Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x\sqrt{9-x^2}$, ta xét đạo hàm:
$f'(x) = \frac{9-2x^2}{\sqrt{9-x^2}}$
Đặt $f'(x) = 0$, ta có:
$9 - 2x^2 = 0$
$2x^2 = 9$
$x^2 = \frac{9}{2}$
$x = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$
Ta kiểm tra các điểm cực trị:
$f\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right) = \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{9 - \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2} = \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{2}$
$f\left(-\frac{3}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{9 - \left(-\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2} = -\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\frac{9}{2}} = -\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{9}{2}$
Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là $\frac{9}{2}$.
Đáp án: Đúng