Tìm ước chung lớn nhất của - Hai số chẵn khác 0 liên tiếp - $\overline{ab} + \overline{ba}$ và $33$

Câu hỏi: Tìm ước chung lớn nhất của - Hai số chẵn khác 0 liên tiếp - $\overline{ab} + \overline{ba}$ và $33$. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Phần 1: Tìm ước chung lớn nhất của hai số chẵn khác 0 liên tiếp Hai số chẵn liên tiếp luôn có khoảng cách là 2. Ta sẽ chứng minh rằng ước chung lớn nhất của chúng là 2. Giả sử hai số chẵn liên tiếp là $2k$ và $2k+2$, với $k$ là số tự nhiên. - Số thứ nhất là $2k$ - Số thứ hai là $2k + 2$ Ta thấy rằng cả hai số đều chia hết cho 2. Do đó, 2 là ước chung của chúng. Bây giờ, ta cần kiểm tra xem liệu có ước chung nào lớn hơn 2 hay không. Giả sử tồn tại một số $d > 2$ là ước chung của cả hai số này. Điều này có nghĩa là: \[ 2k \div d = m \] \[ (2k + 2) \div d = n \] Trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên. Từ đây, ta có: \[ 2k = md \] \[ 2k + 2 = nd \] Substitute $2k = md$ vào phương trình thứ hai: \[ md + 2 = nd \] Rearrange để tìm $d$: \[ 2 = nd - md \] \[ 2 = d(n - m) \] Do đó, $d$ phải là ước của 2. Các ước của 2 là 1 và 2. Vì ta đã giả sử $d > 2$, nên điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy ước chung lớn nhất của hai số chẵn liên tiếp là 2. Phần 2: Tìm ước chung lớn nhất của $\overline{ab} + \overline{ba}$ và 33 Giả sử $\overline{ab} = 10a + b$ và $\overline{ba} = 10b + a$. Ta cần tìm ước chung lớn nhất của $(10a + b) + (10b + a)$ và 33. Biểu thức $\overline{ab} + \overline{ba}$ là: \[ 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b) \] Như vậy, $\overline{ab} + \overline{ba}$ luôn chia hết cho 11. Bây giờ, ta cần kiểm tra xem liệu 33 có là ước chung lớn nhất hay không. 33 có các ước là 1, 3, 11, và 33. Ta thấy rằng 11 là ước chung của cả hai số này. Ta cần kiểm tra xem liệu có ước chung nào lớn hơn 11 hay không. Giả sử tồn tại một số $d > 11$ là ước chung của cả hai số này. Điều này có nghĩa là: \[ 11(a + b) \div d = m \] \[ 33 \div d = n \] Trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên. Từ đây, ta có: \[ 11(a + b) = md \] \[ 33 = nd \] Substitute $33 = nd$ vào phương trình thứ hai: \[ 11(a + b) = m \cdot \frac{33}{n} \] Rearrange để tìm $d$: \[ 11(a + b) = \frac{33m}{n} \] Do đó, $d$ phải là ước của 33. Các ước của 33 là 1, 3, 11, và 33. Vì ta đã giả sử $d > 11$, nên điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy ước chung lớn nhất của $\overline{ab} + \overline{ba}$ và 33 là 11. Đáp số: - Ước chung lớn nhất của hai số chẵn khác 0 liên tiếp là 2. - Ước chung lớn nhất của $\overline{ab} + \overline{ba}$ và 33 là 11.