Cho $(a, b) = 1$. Tìm $(a + b, a-b)$ và $(7a+9b,3a+8b)$

Để tìm $(a + b, a - b)$ và $(7a + 9b, 3a + 8b)$, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp và quy tắc đã cung cấp. Tìm $(a + b, a - b)$ 1. Tìm ước chung của \(a + b\) và \(a - b\): - Gọi \(d\) là ước chung của \(a + b\) và \(a - b\). Điều này có nghĩa là \(d\) chia hết cho cả \(a + b\) và \(a - b\). 2. Tính \(d\): - Ta có: \[ d \mid (a + b) \quad \text{và} \quad d \mid (a - b) \] - Do đó: \[ d \mid [(a + b) + (a - b)] = 2a \] \[ d \mid [(a + b) - (a - b)] = 2b \] 3. Tính \(d\) tiếp tục: - Vì \(d\) chia hết cho cả \(2a\) và \(2b\), nên \(d\) phải là ước chung của \(2a\) và \(2b\). - Ta biết rằng \((a, b) = 1\), tức là \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau. Do đó, \(d\) chỉ có thể là 1 hoặc 2. 4. Kết luận: - Vậy \((a + b, a - b)\) có thể là 1 hoặc 2. Tìm $(7a + 9b, 3a + 8b)$ 1. Tìm ước chung của \(7a + 9b\) và \(3a + 8b\): - Gọi \(d\) là ước chung của \(7a + 9b\) và \(3a + 8b\). Điều này có nghĩa là \(d\) chia hết cho cả \(7a + 9b\) và \(3a + 8b\). 2. Tính \(d\): - Ta có: \[ d \mid (7a + 9b) \quad \text{và} \quad d \mid (3a + 8b) \] - Do đó: \[ d \mid [7(3a + 8b) - 3(7a + 9b)] = 56b - 27b = 29b \] \[ d \mid [8(7a + 9b) - 9(3a + 8b)] = 56a - 27a = 29a \] 3. Tính \(d\) tiếp tục: - Vì \(d\) chia hết cho cả \(29a\) và \(29b\), nên \(d\) phải là ước chung của \(29a\) và \(29b\). - Ta biết rằng \((a, b) = 1\), tức là \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau. Do đó, \(d\) chỉ có thể là 1 hoặc 29. 4. Kết luận: - Vậy \((7a + 9b, 3a + 8b)\) có thể là 1 hoặc 29. Đáp số: - \((a + b, a - b)\) có thể là 1 hoặc 2. - \((7a + 9b, 3a + 8b)\) có thể là 1 hoặc 29.