mn giải giúp mình bài này nha mình cảm ơn (70 điểm cho câu trả lời đầu tiên) 4.2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính $AB=2R$ Trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác,A và B). Gọi D là giao điểm của đường thẳng BC với tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn,tâm O và I là trung điểm của AD .,a. Chứng minh $BC.BD=4R^2$ và IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O.,b. Từ C kẻ CH vuông góc với AB (H thuộc AB ), BI cắt CH tại K . Chứng minh CH là,trung điểm của CH .

Question

Accepted Answer

a, Xét $ riangle \mathrm{ABC}$ có $O A=O B=O C=\frac{1}{2} A B$.
$\Rightarrow \Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại $C \Rightarrow A C \perp B C$.
Ta có $A D$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm $O$ nên $A D \perp A B$.
Trong $\Delta \mathrm{ABD}$ vuông tại $A $ có $A C \perp B D \Rightarrow B C . B D=A B^2$.
Mà $\mathrm{AB}=2 \mathrm{R}$ nên $B C . B D=4 R^2$.

Tam giác $A C D$ vuông tại $C$ có $I$ là trung điểm của $A D$
$\Rightarrow A I=D I=C I=\frac{1}{2} A D$. (Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
Xét tam giác $AOI $ và $COI $ có
$Ol $ chung
$O A=O C$
$\mathrm{Al}=\mathrm{Cl}$
$\Rightarrow \Delta A O I= riangle C O I \quad(c-c-c) . \Rightarrow \widehat{I A O}=\widehat{I C O}$ (hai góc tương úng).
Mà $\widehat{I A O}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{I C O}=90^{\circ}$ hay $IC \perp O C$
$\Rightarrow I C$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm $O .$

$b$, Ta có $A D / / C H$ (cùng vuông góc với $A B$ )
Trong tam giác BAI có $\mathrm{KH} / / \mathrm{Al} \Rightarrow \frac{K H}{A I}=\frac{B K}{B I}$ (định lý Ta-lét).
Trong tam giác BDI có $\mathrm{CK} / / \mathrm{DI} \Rightarrow \frac{C K}{D I}=\frac{B K}{B I}$ (định lý Ta-lét).
Suy ra $\frac{K H}{A I}=\frac{C K}{D I}$.
Mà $\mathrm{Al}=\mathrm{DI}$ nên $\mathrm{KH}=\mathrm{CK}$ hay $K $ là trung điểm của $CH . $(điều phải chứng minh).