làm bài tập trên

Bài 1. a) Rút gọn biểu thức \( A = 2\sqrt{20} + \sqrt{5} - 3\sqrt{125} \): Đầu tiên, ta rút gọn các căn bậc hai: \[ 2\sqrt{20} = 2\sqrt{4 \times 5} = 2 \times 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} \] \[ 3\sqrt{125} = 3\sqrt{25 \times 5} = 3 \times 5\sqrt{5} = 15\sqrt{5} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ A = 4\sqrt{5} + \sqrt{5} - 15\sqrt{5} \] Gộp các hạng tử có chứa \(\sqrt{5}\): \[ A = (4 + 1 - 15)\sqrt{5} = -10\sqrt{5} \] Vậy, biểu thức \( A \) đã được rút gọn thành: \[ A = -10\sqrt{5} \] b) Rút gọn biểu thức \( B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \frac{9}{x + 3\sqrt{x}} \) với \( x > 0 \): Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \( x + 3\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + 3) \). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức \( B \) như sau: \[ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \frac{9}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)} \] Tìm mẫu chung của hai phân số: \[ B = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - 9}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)} = \frac{x - 9}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)} \] Vậy, biểu thức \( B \) đã được rút gọn thành: \[ B = \frac{x - 9}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)} \] Bài 2. a) $\frac{4x-1}{-9}< \frac{5-3x}{6}$ Điều kiện xác định: $x \neq \frac{1}{4}; x \neq \frac{5}{3}$. $\frac{1-4x}{9}< \frac{5-3x}{6}$ $\frac{1-4x}{3}< \frac{5-3x}{2}$ $2(1-4x)< 3(5-3x)$ $2-8x< 15-9x$ $9x-8x< 15-2$ $x< 13$ b) $\sqrt{x-3}+2\sqrt{\frac{x-3}{4}}=2$ Điều kiện xác định: $x \geq 3$. $\sqrt{x-3}+2\sqrt{\frac{x-3}{4}}=\sqrt{x-3}+\sqrt{x-3}=2$ $2\sqrt{x-3}=2$ $\sqrt{x-3}=1$ $x-3=1$ $x=4$ Bài 3. Điều kiện xác định: \( x + y \neq 0 \). Từ phương trình thứ nhất: \[ y + \frac{x}{x+y} = \frac{1}{2} \] Nhân cả hai vế với \( x + y \): \[ y(x + y) + x = \frac{1}{2}(x + y) \] \[ yx + y^2 + x = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y \] \[ yx + y^2 + x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y = 0 \] \[ yx + y^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y = 0 \] Từ phương trình thứ hai: \[ x + \frac{y}{x+y} = \frac{5}{2} \] Nhân cả hai vế với \( x + y \): \[ x(x + y) + y = \frac{5}{2}(x + y) \] \[ x^2 + xy + y = \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}y \] \[ x^2 + xy + y - \frac{5}{2}x - \frac{5}{2}y = 0 \] \[ x^2 + xy - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}y = 0 \] Bây giờ ta có hai phương trình: \[ yx + y^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y = 0 \] \[ x^2 + xy - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}y = 0 \] Ta sẽ cộng hai phương trình này lại: \[ (yx + y^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y) + (x^2 + xy - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}y) = 0 \] \[ yx + y^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y + x^2 + xy - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}y = 0 \] \[ y^2 + x^2 + 2xy - 2x - 2y = 0 \] \[ (x + y)^2 - 2(x + y) = 0 \] \[ (x + y)(x + y - 2) = 0 \] Vậy ta có hai trường hợp: 1. \( x + y = 0 \) (loại vì điều kiện \( x + y \neq 0 \)) 2. \( x + y = 2 \) Thay \( x + y = 2 \) vào phương trình thứ nhất: \[ y + \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \] \[ 2y + x = 1 \] Ta có hệ phương trình mới: \[ x + y = 2 \] \[ 2y + x = 1 \] Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất: \[ (2y + x) - (x + y) = 1 - 2 \] \[ y = -1 \] Thay \( y = -1 \) vào \( x + y = 2 \): \[ x - 1 = 2 \] \[ x = 3 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (3, -1) \). Đáp số: \( (3, -1) \). Bài 4. 1. Tính diện tích phần tô đậm trên hình bên biết tứ giác ABCD là hình chữ nhật, $AE = 3\text{ cm}, ED = 5\text{ cm}$ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). Diện tích của hình chữ nhật ABCD là: \[ S_{ABCD} = AE \times AD = 3 \times (3 + 5) = 3 \times 8 = 24 \text{ cm}^2 \] Diện tích của tam giác ADE là: \[ S_{ADE} = \frac{1}{2} \times AE \times DE = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 = 7.5 \text{ cm}^2 \] Diện tích phần tô đậm là: \[ S_{tô đậm} = S_{ABCD} - S_{ADE} = 24 - 7.5 = 16.5 \text{ cm}^2 \] Đáp số: 16.5 cm² 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm trên tiếp tuyến Bx của đường tròn (O). Đường thẳng qua B và vuông góc với OM tại H cắt đường tròn tại điểm thứ hai là C. 2.1. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O). - Vì Bx là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B nên $\angle OBM = 90^\circ$. - Vì đường thẳng qua B và vuông góc với OM tại H nên $\angle BHO = 90^\circ$. - Xét tam giác OBH và tam giác OMC: - $\angle OBM = \angle OMC = 90^\circ$ - $\angle BOH = \angle COM$ (góc giữa hai đường thẳng vuông góc với nhau) - Do đó, tam giác OBH đồng dạng với tam giác OMC (góc - góc). - Từ đó suy ra $\angle OMC = 90^\circ$, vậy MC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 2.2. Tia AH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N; BN cắt OM tại K. Chứng minh: a) Tam giác AHB đồng dạng với tam giác BKM b) BN đi qua trung điểm của MH. a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác BKM: - $\angle AHB = \angle BKM = 90^\circ$ (vuông góc với OM) - $\angle BAH = \angle KBM$ (góc giữa hai đường thẳng vuông góc với nhau) - Do đó, tam giác AHB đồng dạng với tam giác BKM (góc - góc). b) Chứng minh BN đi qua trung điểm của MH: - Vì tam giác AHB đồng dạng với tam giác BKM nên $\frac{AH}{BH} = \frac{BH}{MK}$. - Từ đó suy ra $AH \cdot MK = BH^2$. - Vì $\angle BHO = 90^\circ$ nên $BH^2 = OH \cdot HM$. - Kết hợp lại ta có $AH \cdot MK = OH \cdot HM$. - Do đó, BN đi qua trung điểm của MH. Bài 5. Để giải phương trình \(6\sqrt{2x+1} = x^2 - 6x + 26\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): \[ 2x + 1 \geq 0 \implies x \geq -\frac{1}{2} \] 2. Bước 1: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn thức: \[ (6\sqrt{2x+1})^2 = (x^2 - 6x + 26)^2 \] \[ 36(2x + 1) = (x^2 - 6x + 26)^2 \] \[ 72x + 36 = (x^2 - 6x + 26)^2 \] 3. Bước 2: Đặt \(y = x^2 - 6x + 26\) và thay vào phương trình: \[ 72x + 36 = y^2 \] 4. Bước 3: Giải phương trình bậc hai \(y^2 - 72x - 36 = 0\): \[ y^2 - 72x - 36 = 0 \] 5. Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình \(y^2 - 72x - 36 = 0\): \[ y = \frac{72x + 36}{2} = 36x + 18 \] 6. Bước 5: Thay \(y = 36x + 18\) vào phương trình ban đầu: \[ 36x + 18 = x^2 - 6x + 26 \] \[ x^2 - 42x + 8 = 0 \] 7. Bước 6: Giải phương trình bậc hai \(x^2 - 42x + 8 = 0\): \[ x = \frac{42 \pm \sqrt{42^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{42 \pm \sqrt{1764 - 32}}{2} \] \[ x = \frac{42 \pm \sqrt{1732}}{2} \] \[ x = \frac{42 \pm 2\sqrt{433}}{2} \] \[ x = 21 \pm \sqrt{433} \] 8. Kiểm tra điều kiện xác định: \[ x \geq -\frac{1}{2} \] Vì \(21 + \sqrt{433}\) và \(21 - \sqrt{433}\) đều thỏa mãn điều kiện này. Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 21 + \sqrt{433} \quad \text{hoặc} \quad x = 21 - \sqrt{433} \]