Cíu tui zới Câu 18 (2 điểm):,Cho đường tròn $(O;R).$ đường kính AD , có dây AB không là đường,kính. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB , cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở,điểm C . Trên đường tròn lấy điểm E thuộc cung lớn AB sao cho $BED=30^0$,a) Tính g0D và BAD,b) Chứng minh ca là tiếp tuyến của (O),c) Cho bán kính của (O) bằng 15 cm và dây $AB=24~cm.$ Tính độ dài,đoạn thẳng $oc^{rl}$ và chứng minh $AD

Question

Cíu tui zới Câu 18 (2 điểm):,Cho đường tròn $(O;R).$ đường kính AD , có dây AB không là đường,kính. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB , cắt tiếp tuyến tại A của (O) ở,điểm C . Trên đường tròn lấy điểm E thuộc cung lớn AB sao cho $BED=30^0$,a) Tính g0D và BAD,b) Chứng minh ca là tiếp tuyến của (O),c) Cho bán kính của (O) bằng 15 cm và dây $AB=24~cm.$ Tính độ dài,đoạn thẳng $oc^{rl}$ và chứng minh $AD<AB+BD<2AD.$,Câu 19 (0.5 điểm): Tính giá trị biểu thức,$A=\sqrt{1+\frac1{2^2}+\frac1{2^2}+\sqrt{1+\frac1{2^2}^2}+\frac1{3^2}+...+\sqrt{1+\frac1{2024^2}+\frac1{2025^2}}$

Accepted Answer

Câu 18
a) Ta có $\widehat{BOD}=2\times \widehat{BAD}$. 
Mà $\widehat{BAD}+\widehat{BED}=180^0$ (cặp góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
$\Rightarrow \widehat{BAD}=180^0-\widehat{BED}=180^0-30^0=150^0$
$\Rightarrow \widehat{BOD}=2\times 150^0=300^0$
b) Ta có $\widehat{CAB}=90^0$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính)
Mà $OC\perp AB$ (gt) nên $\widehat{CBA}=90^0$
$\Rightarrow \widehat{ACB}=90^0$ (tổng 3 góc trong tam giác ABC bằng 180^0)
$\Rightarrow \widehat{CBO}=90^0$ (2 góc kề bù)
$\Rightarrow CB$ là tiếp tuyến của (O) (dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến)
c) Ta có $OA=OB=R=15(cm)$
Mà $OC\perp AB$ nên OA = OB (tính chất đường cao tam giác cân)
$\Rightarrow AC=BC=\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12(cm)$
$\Rightarrow OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9(cm)$
Ta có $AD=2R=30(cm)$
Mà $AB=24(cm)$
$\Rightarrow AB<AD$
$\Rightarrow AB+BD<AD+BD$
Mà $AD+BD=2AD$ (AD là đường kính)
$\Rightarrow AB+BD<2AD$
Vậy $AD<AB+BD<2AD$

Câu 19
Để tính giá trị biểu thức $ A = \sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + ... + \sqrt{1 + \frac{1}{2024^2} + \frac{1}{2025^2}} $, chúng ta sẽ tìm hiểu từng thành phần của biểu thức này.

Xét một thành phần tổng quát của biểu thức:
$$ \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} $$

Ta sẽ biến đổi biểu thức này để dễ dàng tính toán hơn. Đầu tiên, ta viết lại biểu thức dưới dạng:
$$ \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} = \sqrt{\frac{n^2(n+1)^2 + n^2 + (n+1)^2}{n^2(n+1)^2}} $$

Phân tích tử số:
$$ n^2(n+1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = n^2(n^2 + 2n + 1) + n^2 + n^2 + 2n + 1 $$
$$ = n^4 + 2n^3 + n^2 + n^2 + n^2 + 2n + 1 $$
$$ = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1 $$

Nhận thấy rằng:
$$ n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1 = (n^2 + n + 1)^2 $$

Do đó:
$$ \sqrt{\frac{(n^2 + n + 1)^2}{n^2(n+1)^2}} = \frac{n^2 + n + 1}{n(n+1)} = \frac{n(n+1) + 1}{n(n+1)} = 1 + \frac{1}{n(n+1)} $$

Biểu thức ban đầu trở thành:
$$ A = \left(1 + \frac{1}{1 \cdot 2}\right) + \left(1 + \frac{1}{2 \cdot 3}\right) + ... + \left(1 + \frac{1}{2024 \cdot 2025}\right) $$

Tách thành hai tổng riêng biệt:
$$ A = (1 + 1 + ... + 1) + \left(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{2024 \cdot 2025}\right) $$

Tổng số 1:
$$ 1 + 1 + ... + 1 = 2024 \text{ lần} = 2024 $$

Tổng phân số:
$$ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{2024 \cdot 2025} $$

Nhận thấy đây là một dãy tổng phân số có dạng:
$$ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} $$

Áp dụng công thức trên:
$$ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{2024 \cdot 2025} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + ... + \left(\frac{1}{2024} - \frac{1}{2025}\right) $$

Các số hạng giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại:
$$ 1 - \frac{1}{2025} = \frac{2024}{2025} $$

Cuối cùng, tổng biểu thức $ A $:
$$ A = 2024 + \frac{2024}{2025} = 2024 + 0.999506172839506 = 2024.9995061728395 $$

Vậy giá trị biểu thức $ A $ là:
$$ A = 2024 + \frac{2024}{2025} = 2024 + 0.999506172839506 = 2024.9995061728395 \approx 2024.9995 $$