Cíu tui zới

Câu 18 a) Ta có $\widehat{BOD}=2\times \widehat{BAD}$. Mà $\widehat{BAD}+\widehat{BED}=180^0$ (cặp góc nội tiếp cùng chắn cung BD) $\Rightarrow \widehat{BAD}=180^0-\widehat{BED}=180^0-30^0=150^0$ $\Rightarrow \widehat{BOD}=2\times 150^0=300^0$ b) Ta có $\widehat{CAB}=90^0$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính) Mà $OC\perp AB$ (gt) nên $\widehat{CBA}=90^0$ $\Rightarrow \widehat{ACB}=90^0$ (tổng 3 góc trong tam giác ABC bằng 180^0) $\Rightarrow \widehat{CBO}=90^0$ (2 góc kề bù) $\Rightarrow CB$ là tiếp tuyến của (O) (dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến) c) Ta có $OA=OB=R=15(cm)$ Mà $OC\perp AB$ nên OA = OB (tính chất đường cao tam giác cân) $\Rightarrow AC=BC=\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12(cm)$ $\Rightarrow OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9(cm)$ Ta có $AD=2R=30(cm)$ Mà $AB=24(cm)$ $\Rightarrow AB<AD$ $\Rightarrow AB+BD<AD+BD$ Mà $AD+BD=2AD$ (AD là đường kính) $\Rightarrow AB+BD<2AD$ Vậy $AD<AB+BD<2AD$ Câu 19 Để tính giá trị biểu thức \( A = \sqrt{1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + ... + \sqrt{1 + \frac{1}{2024^2} + \frac{1}{2025^2}} \), chúng ta sẽ tìm hiểu từng thành phần của biểu thức này. Xét một thành phần tổng quát của biểu thức: \[ \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} \] Ta sẽ biến đổi biểu thức này để dễ dàng tính toán hơn. Đầu tiên, ta viết lại biểu thức dưới dạng: \[ \sqrt{1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} = \sqrt{\frac{n^2(n+1)^2 + n^2 + (n+1)^2}{n^2(n+1)^2}} \] Phân tích tử số: \[ n^2(n+1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = n^2(n^2 + 2n + 1) + n^2 + n^2 + 2n + 1 \] \[ = n^4 + 2n^3 + n^2 + n^2 + n^2 + 2n + 1 \] \[ = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1 \] Nhận thấy rằng: \[ n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1 = (n^2 + n + 1)^2 \] Do đó: \[ \sqrt{\frac{(n^2 + n + 1)^2}{n^2(n+1)^2}} = \frac{n^2 + n + 1}{n(n+1)} = \frac{n(n+1) + 1}{n(n+1)} = 1 + \frac{1}{n(n+1)} \] Biểu thức ban đầu trở thành: \[ A = \left(1 + \frac{1}{1 \cdot 2}\right) + \left(1 + \frac{1}{2 \cdot 3}\right) + ... + \left(1 + \frac{1}{2024 \cdot 2025}\right) \] Tách thành hai tổng riêng biệt: \[ A = (1 + 1 + ... + 1) + \left(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{2024 \cdot 2025}\right) \] Tổng số 1: \[ 1 + 1 + ... + 1 = 2024 \text{ lần} = 2024 \] Tổng phân số: \[ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{2024 \cdot 2025} \] Nhận thấy đây là một dãy tổng phân số có dạng: \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] Áp dụng công thức trên: \[ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{2024 \cdot 2025} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + ... + \left(\frac{1}{2024} - \frac{1}{2025}\right) \] Các số hạng giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại: \[ 1 - \frac{1}{2025} = \frac{2024}{2025} \] Cuối cùng, tổng biểu thức \( A \): \[ A = 2024 + \frac{2024}{2025} = 2024 + 0.999506172839506 = 2024.9995061728395 \] Vậy giá trị biểu thức \( A \) là: \[ A = 2024 + \frac{2024}{2025} = 2024 + 0.999506172839506 = 2024.9995061728395 \approx 2024.9995 \]