giải toán lớp 9

Câu 1. a) Ta thực hiện phép tính: \[ \sqrt{50} - 3\sqrt{72} + 4\sqrt{128} - 2\sqrt{162} \] Đầu tiên, ta rút gọn các căn bậc hai: \[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \] \[ 3\sqrt{72} = 3\sqrt{36 \times 2} = 3 \times 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \] \[ 4\sqrt{128} = 4\sqrt{64 \times 2} = 4 \times 8\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \] \[ 2\sqrt{162} = 2\sqrt{81 \times 2} = 2 \times 9\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \] Bây giờ, ta thay vào biểu thức ban đầu: \[ 5\sqrt{2} - 18\sqrt{2} + 32\sqrt{2} - 18\sqrt{2} \] Tính tổng các số hạng: \[ (5 - 18 + 32 - 18)\sqrt{2} = 1\sqrt{2} = \sqrt{2} \] Vậy: \[ \sqrt{50} - 3\sqrt{72} + 4\sqrt{128} - 2\sqrt{162} = \sqrt{2} \] b) Ta thực hiện phép tính: \[ \sqrt{100^2 + 100^2} - \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} \] Đầu tiên, ta tính: \[ 100^2 + 100^2 = 10000 + 10000 = 20000 \] \[ \sqrt{20000} = \sqrt{10000 \times 2} = 100\sqrt{2} \] Tiếp theo, ta tính: \[ (1 - \sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2} \] \[ \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = |1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1 \quad (\text{vì } \sqrt{2} > 1) \] Bây giờ, ta thay vào biểu thức ban đầu: \[ 100\sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1) = 100\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 = 99\sqrt{2} + 1 \] Vậy: \[ \sqrt{100^2 + 100^2} - \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = 99\sqrt{2} + 1 \] c) Ta thực hiện phép tính: \[ \frac{\sqrt{12} - 4}{\sqrt{3} - 2} - \frac{3}{\sqrt{7} - 2} + \sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} \] Đầu tiên, ta rút gọn các căn bậc hai: \[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \] Tiếp theo, ta nhân liên hợp để loại bỏ căn ở mẫu: \[ \frac{\sqrt{12} - 4}{\sqrt{3} - 2} = \frac{2\sqrt{3} - 4}{\sqrt{3} - 2} \times \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3} + 2} = \frac{(2\sqrt{3} - 4)(\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)} = \frac{2 \cdot 3 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 8}{3 - 4} = \frac{6 - 8}{-1} = 2 \] \[ \frac{3}{\sqrt{7} - 2} = \frac{3}{\sqrt{7} - 2} \times \frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2} = \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{7 - 4} = \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{3} = \sqrt{7} + 2 \] \[ \sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}| = \sqrt{7} - 2 \quad (\text{vì } \sqrt{7} > 2) \] Bây giờ, ta thay vào biểu thức ban đầu: \[ 2 - (\sqrt{7} + 2) + (\sqrt{7} - 2) = 2 - \sqrt{7} - 2 + \sqrt{7} - 2 = -2 \] Vậy: \[ \frac{\sqrt{12} - 4}{\sqrt{3} - 2} - \frac{3}{\sqrt{7} - 2} + \sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} = -2 \] Câu 2. Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx+3y=5\\2x-y=3\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân phương trình thứ nhất với 2 để dễ dàng trừ phương trình thứ hai: \[ 2(x + 3y) = 2 \cdot 5 \\ 2x + 6y = 10 \] Bước 2: Viết lại hệ phương trình mới: \[ \left\{\begin{array}l2x + 6y = 10 \\ 2x - y = 3 \end{array}\right. \] Bước 3: Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất để loại biến \(x\): \[ (2x + 6y) - (2x - y) = 10 - 3 \\ 2x + 6y - 2x + y = 7 \\ 7y = 7 \] Bước 4: Giải phương trình \(7y = 7\) để tìm \(y\): \[ y = \frac{7}{7} \\ y = 1 \] Bước 5: Thay \(y = 1\) vào phương trình \(x + 3y = 5\) để tìm \(x\): \[ x + 3 \cdot 1 = 5 \\ x + 3 = 5 \\ x = 5 - 3 \\ x = 2 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(x = 2\) và \(y = 1\). Đáp số: \(x = 2\), \(y = 1\). Câu 3. Gọi quãng đường anh An di chuyển là x (km, điều kiện: x > 0) Quãng đường anh Bình di chuyển là y (km, điều kiện: y > 0) Theo đề bài ta có: - Quãng đường anh An di chuyển ngắn hơn quãng đường anh Bình di chuyển là 20 km: \[ y = x + 20 \] - Thời gian đi của anh Bình nhiều hơn thời gian đi của anh An là 15 phút (tức là 0,25 giờ): \[ \frac{y}{50} = \frac{x}{40} + 0,25 \] Bây giờ, thay \( y = x + 20 \) vào phương trình thứ hai: \[ \frac{x + 20}{50} = \frac{x}{40} + 0,25 \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{4(x + 20)}{200} = \frac{5x}{200} + \frac{50}{200} \] \[ 4(x + 20) = 5x + 50 \] \[ 4x + 80 = 5x + 50 \] \[ 80 - 50 = 5x - 4x \] \[ 30 = x \] Vậy quãng đường anh An di chuyển là 30 km. Thay \( x = 30 \) vào phương trình \( y = x + 20 \): \[ y = 30 + 20 = 50 \] Vậy quãng đường anh Bình di chuyển là 50 km. Đáp số: - Quãng đường anh An di chuyển: 30 km - Quãng đường anh Bình di chuyển: 50 km Câu 4. Giá trị của 400 kg khoai tây là: \[ 400 \times 25000 = 10000000 \text{ (đồng)} \] Số tiền ít nhất còn lại để bán cà chua là: \[ 20800000 - 10000000 = 10800000 \text{ (đồng)} \] Số kilôgam cà chua ít nhất mà trang trại đó đã bán là: \[ \frac{10800000}{18000} = 600 \text{ (kg)} \] Đáp số: 600 kg Câu 5. Để tính độ cao \(AB\) của bức tường, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và áp dụng kiến thức về tam giác vuông. 1. Xác định góc \(EDB\): Ta biết rằng \(\cos EDB = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Góc \(EDB\) có giá trị cosin bằng \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) là góc \(30^\circ\). 2. Xác định độ dài \(DE\): Vì \(D\) nằm trên đường thẳng đứng từ \(C\) xuống đất, nên \(DE\) chính là khoảng cách từ \(C\) tới \(E\). Ta có: \[ DE = CA = 7 \text{ m} \] 3. Tính độ dài \(EB\): Trong tam giác vuông \(EDB\), ta có: \[ EB = DE \cdot \sin(30^\circ) \] Biết rằng \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), ta có: \[ EB = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3.5 \text{ m} \] 4. Tính độ cao \(AB\): Độ cao \(AB\) của bức tường là tổng của \(EB\) và \(CD\): \[ AB = EB + CD = 3.5 + 1.68 = 5.18 \text{ m} \] Vậy độ cao của bức tường là \(5.18 \text{ m}\). Câu 6. a) Ta có: $\widehat{AEB}=\widehat{AHB}=90^\circ$ nên A, E, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB. b) Ta có: $\widehat{ACD}=\widehat{ABD}$ (cùng chắn cung AD) Mà $\widehat{ABD}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\widehat{ACD}=90^\circ$. Ta có: $\widehat{BAH}=\widehat{CAD}$ (cùng phụ với $\widehat{CAH}$) $\widehat{ABH}=\widehat{ACD}=90^\circ$ nên $\Delta ABH$ đồng dạng với $\Delta ACD$ (g-g) $\Rightarrow \frac{AH}{CD}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AH.AD=AB.CD$ c) Ta có: $\widehat{AFH}=\widehat{ABD}$ (cùng chắn cung AD) Mà $\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CD) Nên $\widehat{AFH}=\widehat{CBD}$ $\Rightarrow HF//BD$ (hai góc đồng vị bằng nhau)