cho tam giác nhọn ABC(AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), M là trung điểm của BC; BE,CF là các đường cao (E,F là chân các đường cao). Các tiếp tuyến với đường trọn tại B và C cắt nhau tại S. Gọi N,P lần lư...

a) Ta có: $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^\circ$ nên tứ giác BFCE nội tiếp. $\widehat{FBN}=\widehat{FCN}$ (cùng chắn cung FN) $\widehat{FCN}=\widehat{CBF}$ (tứ giác BFCE nội tiếp) $\widehat{CBF}=\widehat{SBM}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) $\widehat{SBM}=\widehat{BMN}$ (tổng 2 góc kề bù với góc SBM bằng 180°) Từ đó ta có: $\widehat{FBN}=\widehat{BMN}$ $\widehat{BMN}+\widehat{MNB}=90^\circ$ nên $\widehat{FBN}+\widehat{MNB}=90^\circ$ $\Rightarrow MN \perp BF$ b) Ta có: $\widehat{BPC}=\widehat{BAC}$ (cùng chắn cung BC) $\widehat{BAC}=\widehat{BSC}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) $\widehat{BSC}=\widehat{BPS}$ (tổng 2 góc kề bù với góc BSC bằng 180°) Từ đó ta có: $\widehat{BPC}=\widehat{BPS}$ $\Rightarrow \Delta BPC \sim \Delta BPS$ (góc - góc) $\Rightarrow \frac{BP}{BC}=\frac{CP}{BS}$ $\Rightarrow BP.CP=BC.BS$ Ta lại có: $\widehat{ABC}=\widehat{ABS}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) $\widehat{ABS}=\widehat{ACB}$ (cùng chắn cung AC) $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$ (cùng chắn cung AB) Từ đó ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ $\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại A $\Rightarrow AB=AC$ $\Rightarrow AB.BS=AC.BS$ $\Rightarrow AB.CP=AC.BP$ c) Ta có: $\widehat{CAM}=\widehat{CBM}$ (cùng chắn cung AM) $\widehat{CBM}=\widehat{SBM}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) $\widehat{SBM}=\widehat{BAM}$ (cùng chắn cung BM) $\widehat{BAM}=\widehat{BAP}$ (tổng 2 góc kề bù với góc BAM bằng 180°) Từ đó ta có: $\widehat{CAM}=\widehat{BAP}$