Giải giúp mình với ạ

Câu 1. Để tính độ lớn của hợp lực của ba lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$, ta thực hiện theo các bước sau: 1. Tìm độ lớn của hợp lực của hai lực đầu tiên: - Ta có $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ vuông góc với nhau. - Độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_{12}}$ của hai lực này là: \[ F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{9^2 + 3^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \] 2. Tìm độ lớn của hợp lực của ba lực: - Ta có $\overrightarrow{F_{12}}$ và $\overrightarrow{F_3}$ cũng vuông góc với nhau. - Độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F}$ của ba lực là: \[ F = \sqrt{F_{12}^2 + F_3^2} = \sqrt{(3\sqrt{10})^2 + 4^2} = \sqrt{90 + 16} = \sqrt{106} \] 3. Làm tròn kết quả: - $\sqrt{106} \approx 10.3$ Vậy độ lớn của hợp lực của ba lực là khoảng 10.3 N. Câu 2. Đầu tiên, ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, đại diện cho hướng và tốc độ của con chim. Vectơ $\overrightarrow{AB} = (40 - 20, 50 - 40, 50 - 30) = (20, 10, 20)$. Con chim bay từ điểm A đến điểm B trong vòng 4 phút, vậy trong 1 phút, con chim sẽ bay được một phần tư quãng đường từ A đến B. Do đó, trong 1 phút, con chim bay được: \[ \left(\frac{20}{4}, \frac{10}{4}, \frac{20}{4}\right) = (5, 2.5, 5) \] Trong 2 phút tiếp theo, con chim sẽ bay thêm: \[ 2 \times (5, 2.5, 5) = (10, 5, 10) \] Vậy, sau 2 phút nữa, con chim sẽ đến điểm C, có tọa độ là: \[ C = B + (10, 5, 10) = (40 + 10, 50 + 5, 50 + 10) = (50, 55, 60) \] Tọa độ của điểm C là (50, 55, 60). Bây giờ, ta tính tổng \( a + 2b + c \): \[ a + 2b + c = 50 + 2 \times 55 + 60 = 50 + 110 + 60 = 220 \] Vậy tổng \( a + 2b + c \) bằng 220. Đáp số: 220. Câu 3. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung vị của mỗi nhóm: - Nhóm [1; 1,5): Trung vị là $\frac{1 + 1,5}{2} = 1,25$ - Nhóm [1,5; 2): Trung vị là $\frac{1,5 + 2}{2} = 1,75$ - Nhóm [2; 2,5): Trung vị là $\frac{2 + 2,5}{2} = 2,25$ - Nhóm [2,5; 3): Trung vị là $\frac{2,5 + 3}{2} = 2,75$ - Nhóm [3; 3,5): Trung vị là $\frac{3 + 3,5}{2} = 3,25$ - Nhóm [3,5; 4): Trung vị là $\frac{3,5 + 4}{2} = 3,75$ 2. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Tính tổng số ngày chạy bộ: $6 + 2 + 7 + 6 + 8 + 4 = 33$ ngày - Tính tổng quãng đường chạy bộ: \[ 1,25 \times 6 + 1,75 \times 2 + 2,25 \times 7 + 2,75 \times 6 + 3,25 \times 8 + 3,75 \times 4 = 7,5 + 3,5 + 15,75 + 16,5 + 26 + 15 = 84,25 \text{ km} \] - Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{84,25}{33} \approx 2,55 \text{ km} \] 3. Tính phương sai: - Phương sai được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] - Ta tính $(x_i - \bar{x})^2$ cho mỗi nhóm: \[ \begin{aligned} & (1,25 - 2,55)^2 = (-1,3)^2 = 1,69 \\ & (1,75 - 2,55)^2 = (-0,8)^2 = 0,64 \\ & (2,25 - 2,55)^2 = (-0,3)^2 = 0,09 \\ & (2,75 - 2,55)^2 = (0,2)^2 = 0,04 \\ & (3,25 - 2,55)^2 = (0,7)^2 = 0,49 \\ & (3,75 - 2,55)^2 = (1,2)^2 = 1,44 \\ \end{aligned} \] - Nhân với tần số tương ứng: \[ \begin{aligned} & 1,69 \times 6 = 10,14 \\ & 0,64 \times 2 = 1,28 \\ & 0,09 \times 7 = 0,63 \\ & 0,04 \times 6 = 0,24 \\ & 0,49 \times 8 = 3,92 \\ & 1,44 \times 4 = 5,76 \\ \end{aligned} \] - Tổng các giá trị này: \[ 10,14 + 1,28 + 0,63 + 0,24 + 3,92 + 5,76 = 21,97 \] - Phương sai: \[ s^2 = \frac{21,97}{33} \approx 0,67 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng 0,7 (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 4. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số học sinh: \[ n = 2 + 3 + 8 + 6 + 7 + 6 = 32 \] 2. Xác định các giá trị Q1 và Q3: - Q1 nằm ở vị trí $\frac{n}{4} = \frac{32}{4} = 8$ (vị trí thứ 8) - Q3 nằm ở vị trí $\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 32}{4} = 24$ (vị trí thứ 24) 3. Xác định khoảng chứa Q1 và Q3: - Khoảng chứa Q1: [7; 9,5) vì 8 nằm trong khoảng từ 11 đến 19 (tổng số học sinh từ nhóm đầu tiên đến nhóm thứ ba). - Khoảng chứa Q3: [12; 14,5) vì 24 nằm trong khoảng từ 25 đến 31 (tổng số học sinh từ nhóm đầu tiên đến nhóm thứ năm). 4. Áp dụng công thức tính Q1 và Q3: - Q1 = 7 + $\frac{(8 - 11)}{8} \times (9,5 - 7)$ = 7 + $\frac{-3}{8} \times 2,5$ = 7 - 0,9375 = 6,0625 ≈ 6,1 - Q3 = 12 + $\frac{(24 - 25)}{7} \times (14,5 - 12)$ = 12 + $\frac{-1}{7} \times 2,5$ = 12 - 0,3571 = 11,6429 ≈ 11,6 5. Kết luận khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là từ 6,1 đến 11,6. Đáp số: Khoảng tứ phân vị: [6,1; 11,6] Câu 5. Để tìm tốc độ trung bình \( v \) sao cho chi phí tiền xăng \( C(v) \) là thấp nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của \( C(v) \): \[ C(v) = \frac{2v}{3} + \frac{2166}{v} \] Tính đạo hàm \( C'(v) \): \[ C'(v) = \frac{d}{dv}\left(\frac{2v}{3}\right) + \frac{d}{dv}\left(\frac{2166}{v}\right) \] \[ C'(v) = \frac{2}{3} - \frac{2166}{v^2} \] 2. Tìm điểm cực tiểu của \( C(v) \): Đặt \( C'(v) = 0 \): \[ \frac{2}{3} - \frac{2166}{v^2} = 0 \] \[ \frac{2}{3} = \frac{2166}{v^2} \] \[ v^2 = \frac{2166 \times 3}{2} \] \[ v^2 = 3249 \] \[ v = \sqrt{3249} \] \[ v = 57 \text{ (vì } v > 0) \] 3. Kiểm tra điều kiện \( 0 \leq v \leq 140 \): \( v = 57 \) nằm trong khoảng \( 0 \leq v \leq 140 \). 4. Tính giá trị của \( C(v) \) tại \( v = 57 \): \[ C(57) = \frac{2 \times 57}{3} + \frac{2166}{57} \] \[ C(57) = \frac{114}{3} + \frac{2166}{57} \] \[ C(57) = 38 + 38 \] \[ C(57) = 76 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của chi phí tiền xăng \( C(v) \) là 76, đạt được khi \( v = 57 \). Đáp số: Chi phí tiền xăng là thấp nhất khi tốc độ trung bình \( v = 57 \) km/h. Câu 6. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hình hộp $ABCD.A_1B_1C_1D_1$: - Điểm $A$ có tọa độ $(0;0;0)$. - Điểm $B$ có tọa độ $(2;0;0)$ vì $AB = 2$. - Điểm $D$ có tọa độ $(0;5;0)$ vì $AD = 5$. - Điểm $A_1$ có tọa độ $(0;0;2)$ vì $AA_1 = 2$. Tiếp theo, ta xác định tọa độ của các điểm khác: - Điểm $C$ là giao điểm của các đường thẳng $BC$ và $DC$, do đó tọa độ của $C$ là $(2;5;0)$. - Điểm $B_1$ là đỉnh đối diện với $B$ trên mặt phẳng $A_1B_1C_1D_1$, do đó tọa độ của $B_1$ là $(2;0;2)$. - Điểm $D_1$ là đỉnh đối diện với $D$ trên mặt phẳng $A_1B_1C_1D_1$, do đó tọa độ của $D_1$ là $(0;5;2)$. Bây giờ, ta xác định tọa độ của điểm $I$, tâm của hình vuông $ABCD$: - Tâm của hình vuông $ABCD$ là trung điểm của đường chéo $AC$ hoặc $BD$. Ta tính trung điểm của $AC$: \[ I = \left( \frac{0 + 2}{2}; \frac{0 + 5}{2}; \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( 1; \frac{5}{2}; 0 \right) \] Tiếp theo, ta xác định tọa độ của điểm $P$, trung điểm của đoạn thẳng $BB_1$: \[ P = \left( \frac{2 + 2}{2}; \frac{0 + 0}{2}; \frac{0 + 2}{2} \right) = (2; 0; 1) \] Cuối cùng, ta xác định tọa độ của điểm $Q$, trung điểm của đoạn thẳng $IP$: \[ Q = \left( \frac{1 + 2}{2}; \frac{\frac{5}{2} + 0}{2}; \frac{0 + 1}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}; \frac{5}{4}; \frac{1}{2} \right) \] Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức $P = 3a + 2b - 2c$: \[ P = 3 \left( \frac{3}{2} \right) + 2 \left( \frac{5}{4} \right) - 2 \left( \frac{1}{2} \right) \] \[ P = \frac{9}{2} + \frac{10}{4} - 1 \] \[ P = \frac{9}{2} + \frac{5}{2} - 1 \] \[ P = \frac{14}{2} - 1 \] \[ P = 7 - 1 \] \[ P = 6 \] Vậy giá trị của biểu thức $P$ là $6$.