htegnđv gtsg

Câu 17. Để tính tổng \( T = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{3^n} + \ldots \), ta nhận thấy đây là một dãy số vô hạn với mỗi số hạng là một phần ba của số hạng trước đó. Ta có thể viết lại tổng này dưới dạng: \[ T = 1 + \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \ldots \] Nhận thấy đây là một dãy số lũy thừa với công bội \( q = \frac{1}{3} \). Tổng của một dãy số lũy thừa vô hạn với \( |q| < 1 \) được tính theo công thức: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] trong đó \( a \) là số hạng đầu tiên của dãy và \( q \) là công bội. Trong trường hợp này, \( a = 1 \) và \( q = \frac{1}{3} \). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ T = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \] Vậy tổng của dãy số là: \[ T = \frac{3}{2} \] Câu 18. Trước tiên, chúng ta cần tính diện tích đáy của hình chóp S.ABCD. Diện tích đáy ABCD: \[ S_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \times h}{2} = \frac{(100 + 40) \times 40}{2} = \frac{140 \times 40}{2} = 2800 \text{ m}^2 \] Do mặt phẳng (P) song song với đáy (ABCD) và cắt cạnh SA tại M sao cho \(SA = 3SM\), ta có thể suy ra rằng tam giác SAB và SAM là tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là \(\frac{1}{3}\). Diện tích của tam giác SAM sẽ là: \[ S_{SAM} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times S_{SAB} = \frac{1}{9} \times S_{SAB} \] Tương tự, diện tích của tam giác SAD sẽ là: \[ S_{SAD} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times S_{SAD} = \frac{1}{9} \times S_{SAD} \] Diện tích của tam giác SBC sẽ là: \[ S_{SBC} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times S_{SBC} = \frac{1}{9} \times S_{SBC} \] Diện tích của tam giác SCD sẽ là: \[ S_{SCD} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times S_{SCD} = \frac{1}{9} \times S_{SCD} \] Diện tích của hình thang MNPQ (gọi là MNPQ) sẽ là: \[ S_{MNPQ} = S_{ABCD} - 4 \times \left( \frac{1}{9} \times S_{ABCD} \right) = S_{ABCD} - \frac{4}{9} \times S_{ABCD} = \frac{5}{9} \times S_{ABCD} \] Thay số vào: \[ S_{MNPQ} = \frac{5}{9} \times 2800 = \frac{14000}{9} \approx 1555.56 \text{ m}^2 \] Đổi đơn vị từ m² sang dm²: \[ 1555.56 \text{ m}^2 = 155556 \text{ dm}^2 \] Chi phí để lát gỗ cho mặt sàn: \[ \text{Chi phí} = 155556 \text{ dm}^2 \times 250000 \text{ đồng/dm}^2 = 38889000000 \text{ đồng} = 388890 \text{ triệu đồng} \] Làm tròn kết quả đến hàng phần chục: \[ \text{Chi phí} \approx 38889.0 \text{ triệu đồng} \] Đáp số: 38889.0 triệu đồng Câu 19 Trước tiên, ta biết rằng trong một cấp số cộng, mỗi số hạng được tính bằng công thức: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Ta đã biết hai số hạng cụ thể của cấp số cộng này là \( u_4 = -12 \) và \( u_{18} = 18 \). Áp dụng công thức trên vào hai số hạng này, ta có: \[ u_4 = u_1 + 3d = -12 \] \[ u_{18} = u_1 + 17d = 18 \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm \( u_1 \) và \( d \). Từ phương trình thứ nhất: \[ u_1 + 3d = -12 \quad \text{(1)} \] Từ phương trình thứ hai: \[ u_1 + 17d = 18 \quad \text{(2)} \] Ta trừ phương trình (1) từ phương trình (2): \[ (u_1 + 17d) - (u_1 + 3d) = 18 - (-12) \] \[ 14d = 30 \] \[ d = \frac{30}{14} = \frac{15}{7} \] Bây giờ, ta thay \( d = \frac{15}{7} \) vào phương trình (1) để tìm \( u_1 \): \[ u_1 + 3 \left( \frac{15}{7} \right) = -12 \] \[ u_1 + \frac{45}{7} = -12 \] \[ u_1 = -12 - \frac{45}{7} \] \[ u_1 = -\frac{84}{7} - \frac{45}{7} \] \[ u_1 = -\frac{129}{7} \] Vậy số hạng đầu \( u_1 \) và công sai \( d \) của cấp số cộng là: \[ u_1 = -\frac{129}{7} \] \[ d = \frac{15}{7} \] Câu 20 Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} \frac{1 - n^2}{n^2}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho $n^2$ để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 - n^2}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{n^2}{n^2} \right) \] Bước 2: Rút gọn biểu thức: \[ = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2} - 1 \right) \] Bước 3: Tính giới hạn của từng phần riêng lẻ: - Ta biết rằng $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$ - Giới hạn của hằng số $-1$ là $-1$ Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2} - 1 \right) = 0 - 1 = -1 \] Vậy, giới hạn của biểu thức là: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 - n^2}{n^2} = -1 \] Câu 21 Diện tích hình vuông ban đầu là: \[ S_0 = 1^2 = 1 \] Diện tích của hình vuông thứ hai (cạnh bằng một nửa cạnh hình vuông ban đầu): \[ S_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] Diện tích của hình vuông thứ ba (cạnh bằng một nửa cạnh hình vuông thứ hai): \[ S_2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} \] Diện tích của hình vuông thứ tư (cạnh bằng một nửa cạnh hình vuông thứ ba): \[ S_3 = \left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{1}{64} \] Nhìn vào quy luật này, ta thấy diện tích của mỗi hình vuông tiếp theo là một phần tư diện tích của hình vuông trước đó. Do đó, tổng diện tích của tất cả các hình vuông sẽ là một dãy số vô hạn với tỷ số chung \( r = \frac{1}{4} \). Tổng diện tích của tất cả các hình vuông là: \[ S_{\text{tổng}} = S_0 + S_1 + S_2 + S_3 + \ldots \] \[ S_{\text{tổng}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \ldots \] Đây là một dãy số vô hạn với tỷ số chung \( r = \frac{1}{4} \). Công thức tính tổng của dãy số vô hạn là: \[ S_{\text{tổng}} = \frac{S_0}{1 - r} \] Áp dụng công thức trên: \[ S_{\text{tổng}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \] Vậy tổng diện tích mà chuột Mickey phải tô màu là: \[ \frac{4}{3} \approx 1.33 \] Đáp số: 1.33 Câu 22 Trong bể kính chứa nước được đặt nghiêng, đường mép nước AB song song với cạnh CD của bể nước do lực hấp dẫn tác động đều lên tất cả các điểm trên bề mặt nước. Cụ thể: 1. Lực hấp dẫn: Lực hấp dẫn của Trái Đất tác động đều lên tất cả các điểm trên bề mặt nước, làm cho bề mặt nước luôn tìm cách tạo thành một mặt phẳng song song với mặt đất. 2. Bề mặt nước: Bề mặt nước trong bể kính luôn tìm cách tạo thành một mặt phẳng song song với mặt đất do ảnh hưởng của lực hấp dẫn. Điều này đảm bảo rằng áp suất thủy tĩnh phân bố đồng đều trên toàn bộ bề mặt nước. 3. Đường mép nước: Đường mép nước AB là giao tuyến giữa mặt phẳng của bề mặt nước và thành bể kính. Vì bề mặt nước luôn song song với mặt đất, đường mép nước AB cũng sẽ song song với cạnh CD của bể nước. Do đó, đường mép nước AB song song với cạnh CD của bể nước vì bề mặt nước luôn tìm cách tạo thành một mặt phẳng song song với mặt đất do lực hấp dẫn.