Tính tổng các nghiệm.

Câu 1: Để tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng \((0; 2\pi)\) của phương trình \(\sin^4 \frac{x}{2} + \cos^4 \frac{x}{2} = \frac{5}{8}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Đặt \(y = \frac{x}{2}\). Khi đó, \(x\) thuộc khoảng \((0; 2\pi)\) tương đương với \(y\) thuộc khoảng \((0; \pi)\). Phương trình ban đầu trở thành: \[ \sin^4 y + \cos^4 y = \frac{5}{8} \] Bước 2: Biến đổi phương trình: \[ \sin^4 y + \cos^4 y = (\sin^2 y)^2 + (\cos^2 y)^2 \] Sử dụng công thức \((a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4\): \[ (\sin^2 y + \cos^2 y)^2 - 2\sin^2 y \cos^2 y = \frac{5}{8} \] Do \(\sin^2 y + \cos^2 y = 1\), ta có: \[ 1 - 2\sin^2 y \cos^2 y = \frac{5}{8} \] \[ 2\sin^2 y \cos^2 y = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \] \[ \sin^2 y \cos^2 y = \frac{3}{16} \] Bước 3: Sử dụng công thức \(\sin 2y = 2\sin y \cos y\): \[ \sin^2 2y = 4\sin^2 y \cos^2 y = 4 \cdot \frac{3}{16} = \frac{3}{4} \] \[ \sin 2y = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \] Bước 4: Tìm các giá trị của \(2y\) trong khoảng \((0; 2\pi)\): \[ 2y = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \] Bước 5: Tìm các giá trị của \(y\) trong khoảng \((0; \pi)\): \[ y = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6} \] Bước 6: Tìm các giá trị của \(x\) trong khoảng \((0; 2\pi)\): \[ x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \] Bước 7: Tính tổng tất cả các nghiệm: \[ \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = \frac{12\pi}{3} = 4\pi \] Vậy tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng \((0; 2\pi)\) của phương trình \(\sin^4 \frac{x}{2} + \cos^4 \frac{x}{2} = \frac{5}{8}\) là \(4\pi\).