1.tìm giá trị nhỏ nhất A=2x²+y²+2xy+2x-2y+2024

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 2y + 2024 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta nhóm các hạng tử của biểu thức \( A \) sao cho dễ dàng nhận thấy các hằng đẳng thức. \[ A = 2x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 2y + 2024 \] Bước 2: Ta nhóm lại các hạng tử để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh. \[ A = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 + 2x + 1) - 1 + 2024 \] Bước 3: Ta nhận thấy rằng \( x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \) và \( x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \). Do đó, ta có: \[ A = (x + y)^2 + (x + 1)^2 - 1 + 2024 \] Bước 4: Ta đơn giản hóa biểu thức trên: \[ A = (x + y)^2 + (x + 1)^2 + 2023 \] Bước 5: Ta nhận thấy rằng \( (x + y)^2 \geq 0 \) và \( (x + 1)^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( x \) và \( y \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( A \) sẽ xảy ra khi cả hai bình phương đều bằng 0. \[ (x + y)^2 = 0 \Rightarrow x + y = 0 \Rightarrow y = -x \] \[ (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] Khi đó, ta có \( y = -(-1) = 1 \). Bước 6: Thay \( x = -1 \) và \( y = 1 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = (-1 + 1)^2 + (-1 + 1)^2 + 2023 = 0 + 0 + 2023 = 2023 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là 2023, đạt được khi \( x = -1 \) và \( y = 1 \). Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là 2023, đạt được khi \( x = -1 \) và \( y = 1 \).