Cho P / (x + 1) + Q / (x - 2) = (32x - 19) / (x² - x - 2). Với P, Q là số hữu tỉ. Tính tích P.Q?

Question

Cho  P / (x + 1) + Q / (x - 2) = (32x - 19) / (x² - x - 2).  Với P, Q là số hữu tỉ. Tính tích P.Q?

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm ĐKXĐ: 
   Ta thấy rằng biểu thức $\frac{P}{x+1} + \frac{Q}{x-2} = \frac{32x - 19}{x^2 - x - 2}$ có mẫu số là $(x+1)$ và $(x-2)$. Do đó, điều kiện xác định là $x \neq -1$ và $x \neq 2$.

2. Phân tích mẫu số:
   Ta nhận thấy rằng $x^2 - x - 2$ có thể phân tích thành $(x+1)(x-2)$. Vậy ta có:
   $$
   \frac{P}{x+1} + \frac{Q}{x-2} = \frac{32x - 19}{(x+1)(x-2)}
   $$

3. Quy đồng mẫu số:
   Để quy đồng mẫu số, ta nhân cả hai vế với $(x+1)(x-2)$:
   $$
   \frac{P(x-2)}{(x+1)(x-2)} + \frac{Q(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{32x - 19}{(x+1)(x-2)}
   $$
   Điều này dẫn đến:
   $$
   P(x-2) + Q(x+1) = 32x - 19
   $$

4. Phân tích và so sánh hệ số:
   Ta mở rộng biểu thức ở vế trái:
   $$
   Px - 2P + Qx + Q = 32x - 19
   $$
   Kết hợp các hạng tử có chứa $x$ và các hằng số:
   $$
   (P + Q)x + (-2P + Q) = 32x - 19
   $$

5. So sánh hệ số:
   Để hai biểu thức bằng nhau, các hệ số tương ứng phải bằng nhau:
   $$
   P + Q = 32
   $$
   $$
   -2P + Q = -19
   $$

6. Giải hệ phương trình:
   Ta có hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   P + Q = 32 \
   -2P + Q = -19
   \end{cases}
   $$

Ta trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:
   $$
   (P + Q) - (-2P + Q) = 32 - (-19)
   $$
   $$
   P + Q + 2P - Q = 32 + 19
   $$
   $$
   3P = 51
   $$
   $$
   P = 17
   $$

Thay $P = 17$ vào phương trình $P + Q = 32$:
   $$
   17 + Q = 32
   $$
   $$
   Q = 15
   $$

7. Tính tích P.Q:
   $$
   P \cdot Q = 17 \cdot 15 = 255
   $$

Vậy, tích của $P$ và $Q$ là $255$.