cho 3 số a,b,c thoả mãn a-2020/2021=b-2020/2022=c-2020/2023 chứng minh rằng (a-c)³=8*(a-b)²*(b-c)

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $(a-c)^3 = 8 \cdot (a-b)^2 \cdot (b-c)$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các biến và điều kiện.
Gọi $\frac{a-2020}{2021} = \frac{b-2020}{2022} = \frac{c-2020}{2023} = k$.

Bước 2: Biểu diễn a, b, c theo k.
Từ đó ta có:
$$ a - 2020 = 2021k $$
$$ b - 2020 = 2022k $$
$$ c - 2020 = 2023k $$

Do đó:
$$ a = 2020 + 2021k $$
$$ b = 2020 + 2022k $$
$$ c = 2020 + 2023k $$

Bước 3: Tính các hiệu a - b, b - c và a - c.
$$ a - b = (2020 + 2021k) - (2020 + 2022k) = 2021k - 2022k = -k $$
$$ b - c = (2020 + 2022k) - (2020 + 2023k) = 2022k - 2023k = -k $$
$$ a - c = (2020 + 2021k) - (2020 + 2023k) = 2021k - 2023k = -2k $$

Bước 4: Thay vào biểu thức cần chứng minh.
Ta cần chứng minh:
$$ (a - c)^3 = 8 \cdot (a - b)^2 \cdot (b - c) $$

Thay các giá trị đã tính:
$$ (a - c)^3 = (-2k)^3 = -8k^3 $$
$$ 8 \cdot (a - b)^2 \cdot (b - c) = 8 \cdot (-k)^2 \cdot (-k) = 8 \cdot k^2 \cdot (-k) = -8k^3 $$

Như vậy, ta đã chứng minh được:
$$ (a - c)^3 = 8 \cdot (a - b)^2 \cdot (b - c) $$

Đáp số: Chứng minh hoàn tất.