Câu 2
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
a) Rút gọn biểu thức \( D \)
Biểu thức \( D \) được cho là:
\[ D = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{x + \sqrt{x}} \right) : \frac{\sqrt{x} - 1}{x + 2\sqrt{x} + 1} \]
Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức \( D \)
Phân thức thứ nhất:
\[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \]
Phân thức thứ hai:
\[ \frac{1}{x + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \]
Phân thức thứ ba:
\[ \frac{\sqrt{x} - 1}{x + 2\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} + 1)^2} \]
Bước 2: Rút gọn biểu thức \( D \)
Ta có:
\[ D = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \right) : \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} + 1)^2} \]
Rút gọn phần trong ngoặc:
\[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \]
Do đó:
\[ D = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} : \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} + 1)^2} \]
Chia hai phân thức:
\[ D = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} \times \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x} - 1} \]
Rút gọn:
\[ D = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \]
b) Tính giá trị của biểu thức \( D \) khi \( x = 25 \)
Thay \( x = 25 \) vào biểu thức đã rút gọn:
\[ D = 1 + \frac{1}{\sqrt{25}} = 1 + \frac{1}{5} = 1 + 0.2 = 1.2 \]
Vậy giá trị của biểu thức \( D \) khi \( x = 25 \) là:
\[ D = 1.2 \]
Câu 3.
Gọi giá niêm yết của chiếc điều hòa nhiệt độ là x (triệu đồng, điều kiện: x > 0)
Giá niêm yết của chiếc ti vi là: 22 - x (triệu đồng)
Giá bán của chiếc điều hòa nhiệt độ sau khi giảm 60% là:
\[ x - 0,6x = 0,4x \text{ (triệu đồng)} \]
Giá bán của chiếc ti vi sau khi giảm 25% là:
\[ (22 - x) - 0,25(22 - x) = 0,75(22 - x) \text{ (triệu đồng)} \]
Theo đề bài, tổng số tiền cô Dung đã mua hai mặt hàng là 14,4 triệu đồng, nên ta có phương trình:
\[ 0,4x + 0,75(22 - x) = 14,4 \]
Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này:
\[ 0,4x + 0,75 \times 22 - 0,75x = 14,4 \]
\[ 0,4x + 16,5 - 0,75x = 14,4 \]
\[ -0,35x + 16,5 = 14,4 \]
\[ -0,35x = 14,4 - 16,5 \]
\[ -0,35x = -2,1 \]
\[ x = \frac{-2,1}{-0,35} \]
\[ x = 6 \]
Vậy giá niêm yết của chiếc điều hòa nhiệt độ là 6 triệu đồng.
Giá niêm yết của chiếc ti vi là:
\[ 22 - 6 = 16 \text{ (triệu đồng)} \]
Đáp số: Giá niêm yết của chiếc điều hòa nhiệt độ là 6 triệu đồng, giá niêm yết của chiếc ti vi là 16 triệu đồng.
Bài 4:
Để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O'), ta cần so sánh khoảng cách giữa tâm O và tâm O' với tổng và hiệu bán kính của hai đường tròn.
- Bán kính của đường tròn (O) là 3 cm.
- Bán kính của đường tròn (O') là 5 cm.
- Khoảng cách giữa tâm O và tâm O' là 2 cm.
Tổng của hai bán kính là:
\[ 3 + 5 = 8 \text{ cm} \]
Hiệu của hai bán kính là:
\[ 5 - 3 = 2 \text{ cm} \]
Khoảng cách giữa tâm O và tâm O' là 2 cm, bằng với hiệu của hai bán kính.
Do đó, hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong.
Đáp số: Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong.
Bài 5:
a) Ta có $\widehat{MAB}=\widehat{ACB}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây割线定理,可以继续推理如下:
a) 因为$\widehat{MAB} = \widehat{ACB}$(切线与弦所夹的角等于弦对的圆周角),所以$\widehat{MAC} = \widehat{ACB}$。因此,MA是圆O'的切线。
b) 因为MA是圆O'的切线,所以$\widehat{MAC} = \widehat{ACB}$。又因为$\widehat{ACB} = \widehat{ABC}$(同弧所对的圆周角相等),所以$\widehat{MAC} = \widehat{ABC}$。这表明三角形AMC和三角形ABC相似,且它们的对应边成比例。由于MA是圆O'的切线,所以MA垂直于AC。因此,M是BC的中点,从而得出ABC是直角三角形。
结论:
a) MA是圆O'的切线。
b) M是BC的中点,从而得出ABC是直角三角形。