Giải câu sau:

Câu 46. Để tính giá trị của $\int^{\frac\pi3}_0(2\sin x+\frac1{\cos^2x})dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của mỗi thành phần trong tích phân: - Nguyên hàm của $2\sin x$ là $-2\cos x$. - Nguyên hàm của $\frac{1}{\cos^2 x}$ là $\tan x$. Bước 2: Viết lại tích phân dưới dạng tổng của hai nguyên hàm: \[ \int^{\frac\pi3}_0(2\sin x+\frac1{\cos^2x})dx = \left[-2\cos x + \tan x\right]^{\frac\pi3}_0 \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm: \[ \left[-2\cos x + \tan x\right]^{\frac\pi3}_0 = \left(-2\cos \frac{\pi}{3} + \tan \frac{\pi}{3}\right) - \left(-2\cos 0 + \tan 0\right) \] Bước 4: Tính giá trị của các hàm lượng giác tại các điểm: - $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ - $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ - $\cos 0 = 1$ - $\tan 0 = 0$ Bước 5: Thay các giá trị này vào biểu thức: \[ \left(-2 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3}\right) - \left(-2 \cdot 1 + 0\right) = (-1 + \sqrt{3}) - (-2) = -1 + \sqrt{3} + 2 = 1 + \sqrt{3} \] Vậy giá trị của $\int^{\frac\pi3}_0(2\sin x+\frac1{\cos^2x})dx$ là $1 + \sqrt{3}$. Đáp án đúng là: D. $1 + \sqrt{3}$. Câu 47. Để tính giá trị của $\int^{\frac\pi3}_{\frac\pi6}\cot^2xdx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\cot^2x$. Ta biết rằng $\cot^2x = \csc^2x - 1$. Do đó: \[ \int \cot^2x \, dx = \int (\csc^2x - 1) \, dx = -\cot x - x + C \] Bước 2: Áp dụng công thức tính nguyên hàm trên đoạn [a, b]. \[ \int^{\frac\pi3}_{\frac\pi6}\cot^2xdx = \left[-\cot x - x\right]^{\frac\pi3}_{\frac\pi6} \] Bước 3: Tính giá trị tại các điểm biên. \[ \left[-\cot x - x\right]^{\frac\pi3}_{\frac\pi6} = \left(-\cot \frac\pi3 - \frac\pi3\right) - \left(-\cot \frac\pi6 - \frac\pi6\right) \] \[ = \left(-\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac\pi3\right) - \left(-\sqrt{3} - \frac\pi6\right) \] \[ = -\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac\pi3 + \sqrt{3} + \frac\pi6 \] \[ = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac\pi3 + \frac\pi6 \] \[ = \frac{3}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac\pi3 + \frac\pi6 \] \[ = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac\pi3 + \frac\pi6 \] \[ = \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac\pi3 + \frac\pi6 \] \[ = \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{2\pi}{6} + \frac\pi6 \] \[ = \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6} \] Vậy giá trị của $\int^{\frac\pi3}_{\frac\pi6}\cot^2xdx$ là $\frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6}$. Câu 48. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích phân $\int^1_0\frac{2e^{2x}+3}{e^x}dx$ Ta có: \[ \int^1_0\frac{2e^{2x}+3}{e^x}dx = \int^1_0 \left( \frac{2e^{2x}}{e^x} + \frac{3}{e^x} \right) dx = \int^1_0 \left( 2e^x + 3e^{-x} \right) dx \] Bước 2: Tính từng phần của tích phân \[ \int^1_0 2e^x dx = 2 \left[ e^x \right]^1_0 = 2(e - 1) \] \[ \int^1_0 3e^{-x} dx = 3 \left[ -e^{-x} \right]^1_0 = 3(-e^{-1} + 1) = 3(1 - \frac{1}{e}) \] Bước 3: Cộng lại để tìm kết quả tích phân \[ \int^1_0 \left( 2e^x + 3e^{-x} \right) dx = 2(e - 1) + 3(1 - \frac{1}{e}) = 2e - 2 + 3 - \frac{3}{e} = 2e + 1 - \frac{3}{e} \] Bước 4: Viết kết quả dưới dạng phân số \[ 2e + 1 - \frac{3}{e} = \frac{2e^2 + e - 3}{e} \] So sánh với $\frac{m.e^2+n.e+p}{e}$, ta nhận thấy: \[ m = 2, \quad n = 1, \quad p = -3 \] Bước 5: Tính $m + 2n - p$ \[ m + 2n - p = 2 + 2(1) - (-3) = 2 + 2 + 3 = 7 \] Vậy đáp án đúng là D. 7. Câu 49. Để tính giá trị của $\int^2_{-2}f(x)dx$, ta chia tích phân thành hai phần dựa trên miền xác định của hàm số $f(x)$. Ta có: \[ \int^2_{-2} f(x) \, dx = \int^1_{-2} f(x) \, dx + \int^2_1 f(x) \, dx \] Trong đó: - Khi $x \leq 1$, ta có $f(x) = 3x^2 + 2$ - Khi $x > 1$, ta có $f(x) = 8x - 3$ Do đó: \[ \int^1_{-2} f(x) \, dx = \int^1_{-2} (3x^2 + 2) \, dx \] \[ \int^2_1 f(x) \, dx = \int^2_1 (8x - 3) \, dx \] Bây giờ, ta tính từng tích phân này. 1. Tính $\int^1_{-2} (3x^2 + 2) \, dx$: \[ \int^1_{-2} (3x^2 + 2) \, dx = \left[ x^3 + 2x \right]^1_{-2} \] \[ = \left( 1^3 + 2 \cdot 1 \right) - \left( (-2)^3 + 2 \cdot (-2) \right) \] \[ = (1 + 2) - (-8 - 4) \] \[ = 3 - (-12) \] \[ = 3 + 12 \] \[ = 15 \] 2. Tính $\int^2_1 (8x - 3) \, dx$: \[ \int^2_1 (8x - 3) \, dx = \left[ 4x^2 - 3x \right]^2_1 \] \[ = \left( 4 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 \right) - \left( 4 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 \right) \] \[ = (16 - 6) - (4 - 3) \] \[ = 10 - 1 \] \[ = 9 \] Cuối cùng, cộng hai kết quả lại: \[ \int^2_{-2} f(x) \, dx = 15 + 9 = 24 \] Vậy giá trị của $\int^2_{-2} f(x) \, dx$ là 24. Đáp án đúng là: B. 24. Câu 50. Ta có: $I=\int^3_0f^\prime(x)dx=f(3)-f(0)=2-(-1)=3$. Vậy đáp án đúng là D. Câu 51. Để tính $F(3)$, ta cần sử dụng thông tin về diện tích phần tô đậm $S = 11$ và giá trị $F(-2) = 2$. Ta cũng cần biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Bước 1: Xác định diện tích dưới đồ thị từ $x = -2$ đến $x = 3$. - Diện tích phần tô đậm $S = 11$ bao gồm diện tích từ $x = -2$ đến $x = 0$ và từ $x = 0$ đến $x = 3$. Bước 2: Tính diện tích từ $x = -2$ đến $x = 0$. - Diện tích từ $x = -2$ đến $x = 0$ là $S_1$. - Diện tích từ $x = 0$ đến $x = 3$ là $S_2$. - Ta có $S = S_1 + S_2 = 11$. Bước 3: Tính diện tích từ $x = 0$ đến $x = 3$. - Diện tích từ $x = 0$ đến $x = 3$ là $S_2$. - Ta có $S_2 = F(3) - F(0)$. Bước 4: Tính diện tích từ $x = -2$ đến $x = 0$. - Diện tích từ $x = -2$ đến $x = 0$ là $S_1$. - Ta có $S_1 = F(0) - F(-2)$. - Vì $F(-2) = 2$, nên $S_1 = F(0) - 2$. Bước 5: Kết hợp các diện tích để tìm $F(3)$. - Ta có $S = S_1 + S_2 = 11$. - Thay vào ta có $11 = (F(0) - 2) + (F(3) - F(0))$. - Điều này dẫn đến $11 = F(3) - 2$. - Do đó, $F(3) = 11 + 2 = 13$. Vậy đáp án đúng là: A. $F(3) = 13$. Câu 52. Để tính tích phân $\int^3_{-2} f(x) dx$, ta sẽ chia đoạn [-2, 3] thành các đoạn nhỏ hơn dựa vào các điểm giao của đường gấp khúc với trục hoành và các đoạn thẳng của đồ thị. Cụ thể, ta có các đoạn: 1. Từ -2 đến -1 2. Từ -1 đến 0 3. Từ 0 đến 1 4. Từ 1 đến 2 5. Từ 2 đến 3 Bây giờ, ta sẽ tính diện tích dưới mỗi đoạn thẳng này. 1. Đoạn từ -2 đến -1: - Đây là một tam giác với đáy là 1 và chiều cao là 2. - Diện tích tam giác này là $\frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$. 2. Đoạn từ -1 đến 0: - Đây là một tam giác với đáy là 1 và chiều cao là 2. - Diện tích tam giác này là $\frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$. 3. Đoạn từ 0 đến 1: - Đây là một tam giác với đáy là 1 và chiều cao là 2. - Diện tích tam giác này là $\frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$. 4. Đoạn từ 1 đến 2: - Đây là một tam giác với đáy là 1 và chiều cao là 2. - Diện tích tam giác này là $\frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$. 5. Đoạn từ 2 đến 3: - Đây là một tam giác với đáy là 1 và chiều cao là 2. - Diện tích tam giác này là $\frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$. Tổng diện tích của tất cả các tam giác này là: \[ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 \] Do đó, tích phân $\int^3_{-2} f(x) dx$ bằng 5. Đáp án đúng là D. $\frac{5}{2}$.