Giải nguyên hàm

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần riêng lẻ. Phần 1: Tính nguyên hàm của $\ln(x) - \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2}$ Ta cần tính nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ: 1. Nguyên hàm của $\ln(x)$: \[ \int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C_1 \] 2. Nguyên hàm của $-\frac{1}{x}$: \[ \int -\frac{1}{x} \, dx = -\ln|x| + C_2 \] 3. Nguyên hàm của $-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2}$: \[ \int -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{2} \int x^{-2} \, dx = -\frac{1}{2} \left( -\frac{1}{x} \right) + C_3 = \frac{1}{2x} + C_3 \] Gộp lại, ta có: \[ \int \left( \ln(x) - \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2} \right) \, dx = x \ln(x) - x - \ln|x| + \frac{1}{2x} + C \] Phần 2: Tìm nguyên hàm của $f(x) = (x^2 - 2x)^2$ Đầu tiên, ta mở rộng biểu thức: \[ (x^2 - 2x)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2 \] Bây giờ, ta tính nguyên hàm từng thành phần: 1. Nguyên hàm của $x^4$: \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C_1 \] 2. Nguyên hàm của $-4x^3$: \[ \int -4x^3 \, dx = -4 \cdot \frac{x^4}{4} + C_2 = -x^4 + C_2 \] 3. Nguyên hàm của $4x^2$: \[ \int 4x^2 \, dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} + C_3 = \frac{4x^3}{3} + C_3 \] Gộp lại, ta có: \[ \int (x^4 - 4x^3 + 4x^2) \, dx = \frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3} + C \] Kết luận Nguyên hàm của $\ln(x) - \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2}$ là: \[ x \ln(x) - x - \ln|x| + \frac{1}{2x} + C \] Nguyên hàm của $f(x) = (x^2 - 2x)^2$ là: \[ \frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3} + C \]