Giải chi tiết

Câu 1. Để tìm phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình \(x - y + z - 4 = 0\). Vectơ pháp tuyến của (P) là \(\vec{n}_P = (1, -1, 1)\). 2. Tìm vectơ AB: Điểm \(A(1, 2, 0)\) và điểm \(B(3, 4, -2)\). Vectơ \(\overrightarrow{AB} = (3 - 1, 4 - 2, -2 - 0) = (2, 2, -2)\). 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P), do đó vectơ pháp tuyến của (Q) phải vuông góc với vectơ pháp tuyến của (P). Mặt khác, mặt phẳng (Q) cũng phải chứa vectơ \(\overrightarrow{AB}\). Do đó, vectơ pháp tuyến của (Q) sẽ là tích có hướng của \(\vec{n}_P\) và \(\overrightarrow{AB}\): \[ \vec{n}_Q = \vec{n}_P \times \overrightarrow{AB} \] Ta tính tích có hướng: \[ \vec{n}_Q = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)(-2) - (1)(2)) - \vec{j}((1)(-2) - (1)(2)) + \vec{k}((1)(2) - (-1)(2)) \] \[ = \vec{i}(2 - 2) - \vec{j}(-2 - 2) + \vec{k}(2 + 2) \] \[ = \vec{i}(0) - \vec{j}(-4) + \vec{k}(4) \] \[ = (0, 4, 4) \] 4. Viết phương trình mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_Q = (0, 4, 4)\) và đi qua điểm \(A(1, 2, 0)\). Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: \[ 0(x - 1) + 4(y - 2) + 4(z - 0) = 0 \] \[ 4y - 8 + 4z = 0 \] \[ 4y + 4z - 8 = 0 \] Chia cả phương trình cho 4: \[ y + z - 2 = 0 \] So sánh với phương trình đã cho \((Q): ax + by + cz + 2 = 0\), ta thấy \(a = 0\), \(b = 1\), \(c = 1\). 5. Tính \(T = a + b + c\): \[ T = 0 + 1 + 1 = 2 \] Vậy, \(T = 2\). Câu 2. Đầu tiên, ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \( P \) và \( Q \). Vectơ \( \overrightarrow{PQ} \) là: \[ \overrightarrow{PQ} = (-250 - (-150); -250 - (-150); -150 - (-50)) = (-100; -100; -100) \] Tàu ngầm di chuyển từ điểm \( P \) đến điểm \( Q \) trong 20 phút, tức là mỗi phút tàu ngầm di chuyển được: \[ \frac{\overrightarrow{PQ}}{20} = \left( \frac{-100}{20}; \frac{-100}{20}; \frac{-100}{20} \right) = (-5; -5; -5) \] Nếu tàu ngầm tiếp tục di chuyển với cùng vận tốc và hướng đi, sau 20 phút tiếp theo (từ thời điểm tàu ngầm ở điểm \( Q \)), tọa độ của tàu ngầm sẽ là: \[ Q + 20 \times (-5; -5; -5) = (-250; -250; -150) + (-100; -100; -100) = (-350; -350; -250) \] Do đó, tọa độ điểm \( R \) của tàu ngầm sau 20 phút tiếp theo là \( (-350; -350; -250) \). Cuối cùng, ta tính \( S = x - y + z \): \[ S = -350 - (-350) + (-250) = -350 + 350 - 250 = -250 \] Đáp số: \( S = -250 \) Câu 3. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD với đáy là hình bình hành tâm O, các đoạn thẳng từ đỉnh S đến các đỉnh đáy A, B, C, D sẽ tạo thành các tam giác đều có chung đỉnh S. Ta cần tìm tỉ số $\frac{SM}{SO} = \frac{a}{b}$ sao cho tổng $MS^2 + MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2$ nhỏ nhất. Ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và tính chất của đường trung tuyến trong tam giác để giải bài toán này. 1. Tính toán các khoảng cách từ M đến các đỉnh đáy: - Vì M nằm trên SO, ta có thể viết $M = tS + (1-t)O$, với $0 < t < 1$. - Do đó, $SM = tSO$ và $MO = (1-t)SO$. 2. Áp dụng công thức tính khoảng cách trong tam giác: - Ta biết rằng trong tam giác, tổng bình phương các khoảng cách từ một điểm đến ba đỉnh của tam giác là nhỏ nhất khi điểm đó là trực tâm của tam giác. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cần tính tổng bình phương các khoảng cách từ M đến các đỉnh của hình bình hành. 3. Tính tổng bình phương các khoảng cách: - Ta có: \[ MS^2 + MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 \] - Vì M nằm trên SO, ta có thể sử dụng tính chất của hình bình hành và trực tâm để đơn giản hóa biểu thức này. Ta biết rằng tổng bình phương các khoảng cách từ một điểm đến các đỉnh của hình bình hành là nhỏ nhất khi điểm đó là tâm của hình bình hành. 4. Tìm giá trị nhỏ nhất: - Để tổng bình phương các khoảng cách nhỏ nhất, M phải là tâm của hình bình hành, tức là M trùng với O. Điều này xảy ra khi $t = 0$, nghĩa là $M = O$. - Tuy nhiên, theo đề bài, M khác O, nên ta cần tìm giá trị của $t$ sao cho tổng bình phương các khoảng cách nhỏ nhất. 5. Xét tỉ số $\frac{SM}{SO} = \frac{a}{b}$: - Ta thấy rằng khi $t = \frac{1}{2}$, tức là M nằm chính giữa SO, tổng bình phương các khoảng cách sẽ nhỏ nhất. - Do đó, $\frac{SM}{SO} = \frac{1}{2}$, suy ra $a = 1$ và $b = 2$. 6. Tính $a + 2b$: - Ta có $a + 2b = 1 + 2 \times 2 = 1 + 4 = 5$. Vậy đáp án là $a + 2b = 5$. Câu 4. Để tìm giao điểm của đường thẳng AB và trục Oz, ta cần xác định tọa độ của điểm C nằm trên trục Oz. Trên trục Oz, tọa độ x và y đều bằng 0, tức là \(a = 0\) và \(k = 0\). Ta sẽ viết phương trình tham số của đường thẳng AB: - Vector \(\overrightarrow{AB} = (-1 - 0, -6 - 3, 2 + 1) = (-1, -9, 3)\). Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \[ \begin{cases} x = 0 - t \\ y = 3 - 9t \\ z = -1 + 3t \end{cases} \] Do điểm C nằm trên trục Oz, ta có \(x = 0\) và \(y = 0\): \[ \begin{cases} 0 = 0 - t \\ 0 = 3 - 9t \end{cases} \] Từ phương trình thứ hai, ta giải ra \(t\): \[ 0 = 3 - 9t \implies 9t = 3 \implies t = \frac{1}{3} \] Thay \(t = \frac{1}{3}\) vào phương trình của \(z\): \[ z = -1 + 3 \left(\frac{1}{3}\right) = -1 + 1 = 0 \] Vậy tọa độ của điểm C là \(C(0, 0, 0)\). Biểu thức \(S = 3a + b + c\) với \(a = 0\), \(b = 0\), và \(c = 0\): \[ S = 3 \cdot 0 + 0 + 0 = 0 \] Đáp số: \(S = 0\). Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho tổng số tiền lãi từ cả hai máy A và B là lớn nhất. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện: - \( x + y = 10 \) - \( 0 \leq y \leq 6 \) 2. Biểu diễn số tiền lãi tổng cộng: Số tiền lãi từ máy A là \( f(x) = x^3 + 2x \) triệu đồng. Số tiền lãi từ máy B là \( g(y) = 326y - 27y^8 \) triệu đồng. Tổng số tiền lãi là: \[ T(x) = f(x) + g(10 - x) = x^3 + 2x + 326(10 - x) - 27(10 - x)^8 \] 3. Tìm đạo hàm của \( T(x) \): \[ T'(x) = \frac{d}{dx} \left[ x^3 + 2x + 326(10 - x) - 27(10 - x)^8 \right] \] \[ T'(x) = 3x^2 + 2 - 326 + 27 \cdot 8 (10 - x)^7 \] \[ T'(x) = 3x^2 - 324 + 216 (10 - x)^7 \] 4. Tìm điểm cực đại của \( T(x) \): Đặt \( T'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 324 + 216 (10 - x)^7 = 0 \] Để giải phương trình này, ta cần thử các giá trị \( x \) trong khoảng \( 4 \leq x \leq 10 \) (vì \( y \leq 6 \)). 5. Kiểm tra các giá trị \( x \): - \( x = 4 \): \[ T'(4) = 3(4)^2 - 324 + 216 (10 - 4)^7 = 48 - 324 + 216 \cdot 6^7 > 0 \] - \( x = 5 \): \[ T'(5) = 3(5)^2 - 324 + 216 (10 - 5)^7 = 75 - 324 + 216 \cdot 5^7 < 0 \] - \( x = 6 \): \[ T'(6) = 3(6)^2 - 324 + 216 (10 - 6)^7 = 108 - 324 + 216 \cdot 4^7 < 0 \] - \( x = 7 \): \[ T'(7) = 3(7)^2 - 324 + 216 (10 - 7)^7 = 147 - 324 + 216 \cdot 3^7 < 0 \] - \( x = 8 \): \[ T'(8) = 3(8)^2 - 324 + 216 (10 - 8)^7 = 192 - 324 + 216 \cdot 2^7 < 0 \] - \( x = 9 \): \[ T'(9) = 3(9)^2 - 324 + 216 (10 - 9)^7 = 243 - 324 + 216 \cdot 1^7 < 0 \] - \( x = 10 \): \[ T'(10) = 3(10)^2 - 324 + 216 (10 - 10)^7 = 300 - 324 + 0 < 0 \] 6. Kết luận: Từ các phép tính trên, ta thấy \( T'(x) \) chuyển từ dương sang âm tại \( x = 5 \). Do đó, \( x = 5 \) là điểm cực đại của \( T(x) \). Vậy doanh nghiệp cần sử dụng máy A trong 5 ngày để số tiền lãi là nhiều nhất. Câu 6. Để tính x sao cho thể tích khối lăng trụ lục giác đều là lớn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích đáy của lăng trụ lục giác đều: Diện tích đáy của lăng trụ lục giác đều là diện tích của một hình lục giác đều trừ đi diện tích của 12 tam giác vuông đã cắt. Diện tích của một hình lục giác đều cạnh a là: \[ S_{lục} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \] Diện tích của một tam giác vuông cạnh góc vuông nhỏ là x và cạnh góc vuông lớn là y (y là cạnh còn lại của tam giác vuông): \[ S_{tam} = \frac{1}{2}xy \] Vì tam giác vuông này nằm trong một tam giác đều cạnh 90 cm, nên cạnh góc vuông lớn y sẽ là: \[ y = 90 - x \] Do đó, diện tích của một tam giác vuông là: \[ S_{tam} = \frac{1}{2}x(90 - x) = 45x - \frac{x^2}{2} \] Diện tích của 12 tam giác vuông là: \[ S_{12tam} = 12 \left( 45x - \frac{x^2}{2} \right) = 540x - 6x^2 \] Diện tích đáy của lăng trụ lục giác đều là: \[ S_{đáy} = \frac{3\sqrt{3}}{2}(90)^2 - (540x - 6x^2) \] \[ S_{đáy} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 8100 - 540x + 6x^2 \] \[ S_{đáy} = 12150\sqrt{3} - 540x + 6x^2 \] 2. Xác định chiều cao của lăng trụ: Chiều cao của lăng trụ là x (cạnh góc vuông nhỏ của tam giác vuông đã cắt). 3. Xác định thể tích của lăng trụ: Thể tích của lăng trụ lục giác đều là: \[ V = S_{đáy} \cdot h \] \[ V = (12150\sqrt{3} - 540x + 6x^2) \cdot x \] \[ V = 12150\sqrt{3}x - 540x^2 + 6x^3 \] 4. Tìm giá trị x để thể tích lớn nhất: Để tìm giá trị x làm thể tích lớn nhất, chúng ta sẽ tìm đạo hàm của V theo x và đặt nó bằng 0. \[ V' = 12150\sqrt{3} - 1080x + 18x^2 \] Đặt V' = 0: \[ 12150\sqrt{3} - 1080x + 18x^2 = 0 \] Chia cả phương trình cho 18: \[ 675\sqrt{3} - 60x + x^2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 60x + 675\sqrt{3} = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 4 \cdot 1 \cdot 675\sqrt{3}}}{2} \] \[ x = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 2700\sqrt{3}}}{2} \] Tính giá trị cụ thể: \[ x = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 2700\sqrt{3}}}{2} \] Chọn giá trị x dương: \[ x = \frac{60 + \sqrt{3600 - 2700\sqrt{3}}}{2} \] Vậy giá trị x để thể tích khối lăng trụ lục giác đều là lớn nhất là: \[ x = \frac{60 + \sqrt{3600 - 2700\sqrt{3}}}{2} \]