Giải chi tiết

Câu 1. Để ba điểm \(A(3, 2, -1)\), \(B(-1, -x, 1)\), \(C(7, -1, y)\) thẳng hàng, vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) phải cùng phương. Ta sẽ tính hai vectơ này và tìm điều kiện để chúng cùng phương. Vectơ \(AB\) là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 3, -x - 2, 1 + 1) = (-4, -x - 2, 2) \] Vectơ \(AC\) là: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (7 - 3, -1 - 2, y + 1) = (4, -3, y + 1) \] Hai vectơ cùng phương khi tồn tại số thực \(k\) sao cho: \[ \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC} \] Từ đây ta có hệ phương trình: \[ -4 = k \cdot 4 \] \[ -x - 2 = k \cdot (-3) \] \[ 2 = k \cdot (y + 1) \] Giải phương trình đầu tiên: \[ -4 = k \cdot 4 \implies k = -1 \] Thay \(k = -1\) vào phương trình thứ hai: \[ -x - 2 = -1 \cdot (-3) \implies -x - 2 = 3 \implies -x = 5 \implies x = -5 \] Thay \(k = -1\) vào phương trình thứ ba: \[ 2 = -1 \cdot (y + 1) \implies 2 = -y - 1 \implies y = -3 \] Vậy giá trị của biểu thức \(x + y\) là: \[ x + y = -5 + (-3) = -8 \] Đáp số: \(x + y = -8\).