Câu 9. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M-7;8;7, B0;7;5 và G-3;7;5. A. 6y-3z-26=0. B. 6y-3z+27=0. C. 6y-3z-27=0. D. -7x+8y+7z-27=0. Câu 10. Trong không gian Oxyz, c...

Câu 9. Để viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(M(-7;8;7)\), \(B(0;7;5)\) và \(G(-3;7;5)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng: - Vectơ \(\overrightarrow{MB}\): \[ \overrightarrow{MB} = B - M = (0 - (-7); 7 - 8; 5 - 7) = (7; -1; -2) \] - Vectơ \(\overrightarrow{MG}\): \[ \overrightarrow{MG} = G - M = (-3 - (-7); 7 - 8; 5 - 7) = (4; -1; -2) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) là tích vector của \(\overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MG}\): \[ \vec{n} = \overrightarrow{MB} \times \overrightarrow{MG} \] Ta tính: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 7 & -1 & -2 \\ 4 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)(-2) - (-2)(-1)) - \vec{j}(7(-2) - (-2)(4)) + \vec{k}(7(-1) - (-1)(4)) \] \[ = \vec{i}(2 - 2) - \vec{j}(-14 + 8) + \vec{k}(-7 + 4) \] \[ = \vec{i}(0) - \vec{j}(-6) + \vec{k}(-3) \] \[ = 0\vec{i} + 6\vec{j} - 3\vec{k} \] \[ \vec{n} = (0; 6; -3) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\) với \((A, B, C)\) là các thành phần của vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\). Ta có: \[ 0x + 6y - 3z + D = 0 \] - Thay tọa độ của điểm \(M(-7;8;7)\) vào phương trình để tìm \(D\): \[ 0(-7) + 6(8) - 3(7) + D = 0 \] \[ 0 + 48 - 21 + D = 0 \] \[ 27 + D = 0 \] \[ D = -27 \] 4. Phương trình cuối cùng: \[ 6y - 3z - 27 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(M(-7;8;7)\), \(B(0;7;5)\) và \(G(-3;7;5)\) là: \[ 6y - 3z - 27 = 0 \] Đáp án đúng là: C. 6y - 3z - 27 = 0. Câu 10. Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(-6, 0, 0)\), \(B(0, -4, 0)\), và \(C(0, 0, -6)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng: - Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) từ điểm \(A\) đến điểm \(B\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - (-6), -4 - 0, 0 - 0) = (6, -4, 0) \] - Vectơ \(\overrightarrow{AC}\) từ điểm \(A\) đến điểm \(C\): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (0 - (-6), 0 - 0, -6 - 0) = (6, 0, -6) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) là tích vector của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \] Ta tính tích vector: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6 & -4 & 0 \\ 6 & 0 & -6 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-4)(-6) - (0)(0)) - \mathbf{j}((6)(-6) - (0)(6)) + \mathbf{k}((6)(0) - (-4)(6)) = \mathbf{i}(24) - \mathbf{j}(-36) + \mathbf{k}(24) = 24\mathbf{i} + 36\mathbf{j} + 24\mathbf{k} \] Vậy vectơ pháp tuyến là \(\vec{n} = (24, 36, 24)\). 3. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \(ax + by + cz = d\), trong đó \((a, b, c)\) là vectơ pháp tuyến và \(d\) là hằng số. - Thay tọa độ của điểm \(A(-6, 0, 0)\) vào phương trình để tìm \(d\): \[ 24(-6) + 36(0) + 24(0) = d \implies -144 = d \] - Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ 24x + 36y + 24z = -144 \] - Chia cả phương trình cho 12 để đơn giản hóa: \[ 2x + 3y + 2z = -12 \] 4. Kiểm tra lại đáp án: - Phương trình \(2x + 3y + 2z = -12\) đúng với các điểm \(A(-6, 0, 0)\), \(B(0, -4, 0)\), và \(C(0, 0, -6)\). Do đó, phương trình mặt phẳng là: \[ 2x + 3y + 2z = -12 \] Đáp án đúng là: \[ \boxed{D. x-6+y-4+z-6=1} \] Câu 11. Để xác định mối quan hệ giữa hai mặt phẳng \(P\) và \(Q\), ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, vuông góc và cắt nhau. Mặt phẳng \(P\) có phương trình: \[ -5x - 4y - 4z + 6 = 0 \] Mặt phẳng \(Q\) có phương trình: \[ 15x + 12y + 12z - 15 = 0 \] Bước 1: Kiểm tra điều kiện song song Hai mặt phẳng song song nếu các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình của chúng tỷ lệ với nhau. Ta thấy: \[ \frac{-5}{15} = \frac{-1}{3}, \quad \frac{-4}{12} = \frac{-1}{3}, \quad \frac{-4}{12} = \frac{-1}{3} \] Như vậy, các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình của \(P\) và \(Q\) đều tỷ lệ với nhau với cùng một tỷ số \(\frac{-1}{3}\). Do đó, hai mặt phẳng này song song. Bước 2: Kiểm tra điều kiện trùng nhau Hai mặt phẳng trùng nhau nếu các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) tỷ lệ với nhau và hằng số tự do cũng tỷ lệ với nhau. Ta thấy: \[ \frac{6}{-15} = \frac{-2}{5} \neq \frac{-1}{3} \] Do đó, hằng số tự do không tỷ lệ với các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\). Vậy hai mặt phẳng không trùng nhau. Kết luận Vì hai mặt phẳng song song nhưng không trùng nhau, nên khẳng định đúng là: B. \(P\) song song với \(Q\). Đáp án: B. \(P\) song song với \(Q\). Câu 12. Để xác định mối quan hệ giữa hai mặt phẳng \( \alpha \) và \( \beta \), ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, vuông góc và trùng nhau. Mặt phẳng \( \alpha \) có phương trình: \[ 4x + 3y - 8z + 8 = 0 \] Mặt phẳng \( \beta \) có phương trình: \[ -12x - 9y + 24z - 24 = 0 \] Bước 1: Kiểm tra điều kiện song song Hai mặt phẳng song song nếu các hệ số của \( x \), \( y \), và \( z \) trong phương trình của chúng tỉ lệ với nhau. Ta thấy: \[ \frac{-12}{4} = -3, \quad \frac{-9}{3} = -3, \quad \frac{24}{-8} = -3 \] Như vậy, các hệ số của \( x \), \( y \), và \( z \) trong phương trình của \( \beta \) đều tỉ lệ với các hệ số tương ứng trong phương trình của \( \alpha \) với tỷ số là \(-3\). Bước 2: Kiểm tra điều kiện trùng nhau Hai mặt phẳng trùng nhau nếu các hệ số của \( x \), \( y \), và \( z \) tỉ lệ với nhau và hằng số tự do cũng tỉ lệ với nhau. Ta thấy: \[ \frac{-24}{8} = -3 \] Như vậy, hằng số tự do trong phương trình của \( \beta \) cũng tỉ lệ với hằng số tự do trong phương trình của \( \alpha \) với cùng tỷ số \(-3\). Do đó, hai mặt phẳng \( \alpha \) và \( \beta \) trùng nhau. Kết luận: Đáp án đúng là D. Hai mặt phẳng \( \alpha \) và \( \beta \) trùng nhau. Câu 13. Để xác định mối quan hệ giữa hai mặt phẳng \(\alpha\) và \(\beta\), ta cần so sánh các hệ số của các biến \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình của chúng. Phương trình của mặt phẳng \(\alpha\) là: \[ -2x + 7y + 4z - 8 = 0 \] Phương trình của mặt phẳng \(\beta\) là: \[ -4x + 14y + 8z - 14 = 0 \] Ta thấy rằng các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình của \(\beta\) là bội của các hệ số tương ứng trong phương trình của \(\alpha\): \[ -4 = 2 \times (-2) \] \[ 14 = 2 \times 7 \] \[ 8 = 2 \times 4 \] Tuy nhiên, hằng số tự do không phải là bội của nhau: \[ -14 \neq 2 \times (-8) \] Do đó, hai mặt phẳng này song song với nhau nhưng không trùng nhau. Vậy khẳng định đúng là: C. song song. Đáp án: C. Câu 14. Để xác định mối quan hệ giữa hai mặt phẳng \(R\) và \(Q\), ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, vuông góc và cắt nhau. Mặt phẳng \(R\) có phương trình: \[ x - y + 7z - 3 = 0 \] Mặt phẳng \(Q\) có phương trình: \[ 8x + 8y - 9 = 0 \] Ta viết lại phương trình của \(Q\) dưới dạng: \[ 8x + 8y = 9 \] \[ x + y = \frac{9}{8} \] Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. - Vectơ pháp tuyến của \(R\) là \(\vec{n}_R = (1, -1, 7)\). - Vectơ pháp tuyến của \(Q\) là \(\vec{n}_Q = (1, 1, 0)\). Bước 2: Kiểm tra điều kiện song song. Hai mặt phẳng song song nếu vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương, tức là tồn tại số thực \(k\) sao cho: \[ \vec{n}_R = k \cdot \vec{n}_Q \] Tuy nhiên, ta thấy rằng: \[ (1, -1, 7) \neq k \cdot (1, 1, 0) \] vì không tồn tại \(k\) nào thỏa mãn cả ba điều kiện: \[ 1 = k \cdot 1 \] \[ -1 = k \cdot 1 \] \[ 7 = k \cdot 0 \] Do đó, hai mặt phẳng không song song. Bước 3: Kiểm tra điều kiện vuông góc. Hai mặt phẳng vuông góc nếu tích vô hướng của vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0: \[ \vec{n}_R \cdot \vec{n}_Q = 0 \] Tính tích vô hướng: \[ (1, -1, 7) \cdot (1, 1, 0) = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 7 \cdot 0 = 1 - 1 + 0 = 0 \] Vậy hai mặt phẳng vuông góc. Bước 4: Kết luận. Vì hai mặt phẳng không song song và vuông góc với nhau, nên khẳng định đúng là: D. R vuông góc Q. Đáp án: D. R vuông góc Q. Câu 15. Để xác định mối quan hệ giữa hai mặt phẳng \(R\) và \(S\), ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, vuông góc và cắt nhau. Mặt phẳng \(R\) có phương trình: \[ -6x + 4y + 10z + 2 = 0 \] Mặt phẳng \(S\) có phương trình: \[ 10x - 9y + 10z + 6 = 0 \] Bước 1: Kiểm tra điều kiện vuông góc Hai mặt phẳng vuông góc nếu tích vô hướng của các vector pháp tuyến của chúng bằng 0. Vector pháp tuyến của \(R\) là \(\vec{n}_R = (-6, 4, 10)\). Vector pháp tuyến của \(S\) là \(\vec{n}_S = (10, -9, 10)\). Tích vô hướng của \(\vec{n}_R\) và \(\vec{n}_S\) là: \[ \vec{n}_R \cdot \vec{n}_S = (-6) \cdot 10 + 4 \cdot (-9) + 10 \cdot 10 = -60 - 36 + 100 = 4 \neq 0 \] Vậy hai mặt phẳng không vuông góc. Bước 2: Kiểm tra điều kiện song song Hai mặt phẳng song song nếu các vector pháp tuyến của chúng tỉ lệ với nhau. Ta kiểm tra xem có tồn tại số thực \(k\) sao cho: \[ (-6, 4, 10) = k(10, -9, 10) \] Từ đó ta có: \[ -6 = 10k \] \[ 4 = -9k \] \[ 10 = 10k \] Giải các phương trình này: \[ k = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5} \] \[ k = -\frac{4}{9} \] \[ k = 1 \] Như vậy, không có giá trị \(k\) nào thỏa mãn đồng thời cả ba phương trình trên. Do đó, hai mặt phẳng không song song. Bước 3: Kết luận Vì hai mặt phẳng không vuông góc và không song song, nên chúng phải cắt nhau. Vậy khẳng định đúng là: B. \(R\) và \(S\) cắt nhau và không vuông góc. Câu 16. Để tính khoảng cách từ điểm \( N(8, -2, 2) \) đến mặt phẳng \( \alpha: 8x + y + 5z - 2 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách \( d \) từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào bài toán: - Điểm \( N(8, -2, 2) \) có tọa độ \( (x_0, y_0, z_0) = (8, -2, 2) \) - Mặt phẳng \( \alpha: 8x + y + 5z - 2 = 0 \) có các hệ số \( a = 8 \), \( b = 1 \), \( c = 5 \), và \( d = -2 \) Thay vào công thức: \[ d = \frac{|8 \cdot 8 + 1 \cdot (-2) + 5 \cdot 2 - 2|}{\sqrt{8^2 + 1^2 + 5^2}} \] \[ d = \frac{|64 - 2 + 10 - 2|}{\sqrt{64 + 1 + 25}} \] \[ d = \frac{|70|}{\sqrt{90}} \] \[ d = \frac{70}{3\sqrt{10}} \] \[ d = \frac{70}{3\sqrt{10}} \times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} \] \[ d = \frac{70\sqrt{10}}{30} \] \[ d = \frac{7\sqrt{10}}{3} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( N \) đến mặt phẳng \( \alpha \) là \( \frac{7\sqrt{10}}{3} \). Do đó, đáp án đúng là: C. \( \frac{7\sqrt{10}}{3} \) Câu 17. Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng R và Q, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương trình của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng R: -2x - 6y + 9z + 8 = 0 - Mặt phẳng Q: 6x + 18y - 27z - 18 = 0 Bước 2: Kiểm tra xem hai mặt phẳng có song song hay trùng nhau không: - Ta thấy rằng phương trình của mặt phẳng Q có thể viết lại dưới dạng: \[ 6x + 18y - 27z - 18 = 0 \implies -2x - 6y + 9z + 6 = 0 \] Điều này cho thấy mặt phẳng Q có cùng hướng pháp tuyến với mặt phẳng R nhưng dịch chuyển một đoạn dọc theo hướng pháp tuyến. Bước 3: Chọn một điểm trên mặt phẳng R: - Chọn điểm A(0, 0, -\frac{8}{9}) thuộc mặt phẳng R. Bước 4: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng Q: - Phương trình mặt phẳng Q: 6x + 18y - 27z - 18 = 0 - Công thức khoảng cách từ điểm (x₀, y₀, z₀) đến mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] - Thay vào công thức: \[ d = \frac{|6 \cdot 0 + 18 \cdot 0 - 27 \cdot (-\frac{8}{9}) - 18|}{\sqrt{6^2 + 18^2 + (-27)^2}} \] \[ d = \frac{|0 + 0 + 24 - 18|}{\sqrt{36 + 324 + 729}} \] \[ d = \frac{|6|}{\sqrt{1089}} = \frac{6}{33} = \frac{2}{11} \] Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng R và Q là \(\frac{2}{11}\). Đáp án đúng là B. \(\frac{2}{11}\). Câu 1. a) Đúng vì véctơ pháp tuyến của mặt phẳng 21x - 8y + 15z - 4 = 0 là (21, -8, 15). Do đó, (-21, 8, -15) cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng này. b) Đúng vì thay tọa độ điểm B(-3, 1, 5) vào phương trình mặt phẳng: \[ 21(-3) - 8(1) + 15(5) - 4 = -63 - 8 + 75 - 4 = 0 \] Điểm B không thỏa mãn phương trình mặt phẳng, do đó điểm B không thuộc mặt phẳng. c) Đúng vì khoảng cách từ điểm F(3, 5, 3) đến mặt phẳng 21x - 8y + 15z - 4 = 0 được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|21(3) - 8(5) + 15(3) - 4|}{\sqrt{21^2 + (-8)^2 + 15^2}} = \frac{|63 - 40 + 45 - 4|}{\sqrt{441 + 64 + 225}} = \frac{64}{\sqrt{730}} = \frac{64}{\sqrt{730}} = \frac{64}{27.018} \approx 2.369 \] d) Sai vì góc giữa hai mặt phẳng được tính bằng công thức: \[ \cos \theta = \left| \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right| \] Ở đây, mặt phẳng 21x - 8y + 15z - 4 = 0 có véctơ pháp tuyến (21, -8, 15) và mặt phẳng -x - 5y - 2z + 3 = 0 có véctơ pháp tuyến (-1, -5, -2). \[ \cos \theta = \left| \frac{21(-1) + (-8)(-5) + 15(-2)}{\sqrt{21^2 + (-8)^2 + 15^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2 + (-2)^2}} \right| = \left| \frac{-21 + 40 - 30}{\sqrt{730} \cdot \sqrt{30}} \right| = \left| \frac{-11}{\sqrt{21900}} \right| \approx 0.073 \] Do đó, góc giữa hai mặt phẳng là: \[ \theta = \cos^{-1}(0.073) \approx 85.7^\circ \] Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai. Câu 2. a) Đúng vì \(\vec{n} = (-16, 40, -54)\) là bội của \((8, -20, 27)\), tức là \(\vec{n} = -2(8, -20, 27)\). b) Sai vì thay tọa độ điểm \(K(-3, -1, 6)\) vào phương trình mặt phẳng \(R\): \[8(-3) - 20(-1) + 27(6) - 104 = -24 + 20 + 162 - 104 = 54 \neq 0.\] c) Đúng vì khoảng cách từ điểm \(G(1, 5, -5)\) đến mặt phẳng \(R\) được tính bằng công thức: \[d(G, R) = \frac{|8(1) - 20(5) + 27(-5) - 104|}{\sqrt{8^2 + (-20)^2 + 27^2}} = \frac{|8 - 100 - 135 - 104|}{\sqrt{64 + 400 + 729}} = \frac{|-331|}{\sqrt{1193}} = \frac{331}{\sqrt{1193}}.\] d) Đúng vì mặt phẳng qua điểm \(E(3, -4, 2)\) và song song với \(R\) sẽ có cùng véctơ pháp tuyến \((8, -20, 27)\). Phương trình mặt phẳng đó là: \[8(x - 3) - 20(y + 4) + 27(z - 2) = 0,\] \[8x - 24 - 20y - 80 + 27z - 54 = 0,\] \[8x - 20y + 27z - 158 = 0.\] Câu 3. a) Khẳng định sai vì véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P là $\vec{n} = (-31, 15, -43)$, không phải là (31, -15, 45). b) Khẳng định đúng vì thay tọa độ điểm A(-4, 1, 6) vào phương trình mặt phẳng: \[ -31(-4) + 15(1) - 43(6) + 76 = 124 + 15 - 258 + 76 = 0 \] Do đó, điểm A thuộc mặt phẳng P. c) Khẳng định đúng vì khoảng cách từ điểm H(0, 3, 4) đến mặt phẳng P được tính bằng công thức: \[ d(H, P) = \frac{|-31(0) + 15(3) - 43(4) + 76|}{\sqrt{(-31)^2 + 15^2 + (-43)^2}} = \frac{|45 - 172 + 76|}{\sqrt{961 + 225 + 1849}} = \frac{|-51|}{\sqrt{3035}} = \frac{51}{\sqrt{3035}} \] Kết quả này đúng với khoảng cách đã cho. d) Khẳng định đúng vì mặt phẳng song song với P sẽ có cùng véc tơ pháp tuyến $\vec{n} = (-31, 15, -43)$. Phương trình mặt phẳng qua điểm F(3, 4, 2) và song song với P là: \[ -31(x - 3) + 15(y - 4) - 43(z - 2) = 0 \] Mở rộng và đơn giản hóa phương trình: \[ -31x + 93 + 15y - 60 - 43z + 86 = 0 \Rightarrow -31x + 15y - 43z + 119 = 0 \] Do đó, phương trình đúng là $-31x + 15y - 43z + 119 = 0$. Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 4. a) Đúng vì phương trình mặt phẳng đã cho là 15x + 5y + 9z - 22 = 0, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\vec{n} = (15, 5, 9)$. b) Sai vì thay tọa độ điểm C(3, -1, -2) vào phương trình mặt phẳng: \[ 15 \cdot 3 + 5 \cdot (-1) + 9 \cdot (-2) - 22 = 45 - 5 - 18 - 22 = 0 \] Phương trình sai, do đó điểm C không thuộc mặt phẳng. c) Sai vì phương trình mặt phẳng Q là -30x - 10y - 18z - 22 = 0, ta thấy rằng: \[ -30x - 10y - 18z - 22 = -2(15x + 5y + 9z + 11) \] Như vậy, phương trình của mặt phẳng Q là bội của phương trình của mặt phẳng ban đầu, do đó hai mặt phẳng trùng nhau, không phải cắt nhau. d) Đúng vì: - Mặt phẳng Q đi qua hai điểm M(4, -1, -2) và I(1, -3, 3). Ta kiểm tra xem cả hai điểm này có thỏa mãn phương trình mặt phẳng Q hay không: \[ -30 \cdot 4 - 10 \cdot (-1) - 18 \cdot (-2) - 22 = -120 + 10 + 36 - 22 = -96 \neq 0 \] \[ -30 \cdot 1 - 10 \cdot (-3) - 18 \cdot 3 - 22 = -30 + 30 - 54 - 22 = -76 \neq 0 \] Do đó, hai điểm M và I không thuộc mặt phẳng Q, nên mặt phẳng Q không đi qua hai điểm này. - Mặt phẳng Q vuông góc với mặt phẳng ban đầu vì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ban đầu là $\vec{n} = (15, 5, 9)$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Q là $\vec{n_Q} = (-30, -10, -18)$. Ta thấy rằng $\vec{n_Q} = -2\vec{n}$, tức là hai vectơ pháp tuyến này cùng phương, do đó hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Câu 5. a) Đúng vì véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho là $\vec{n} = (-25, -22, -27)$, do đó $\vec{n} = (25, 22, 28)$ không phải là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng. b) Sai vì thay tọa độ điểm I(3, -3, 4) vào phương trình mặt phẳng: \[ -25 \cdot 3 - 22 \cdot (-3) - 27 \cdot 4 + 117 = -75 + 66 - 108 + 117 = 0 \] Vậy điểm I thuộc mặt phẳng. c) Đúng vì hai mặt phẳng có cùng véc tơ pháp tuyến $\vec{n} = (-25, -22, -27)$ và các hằng số khác nhau, do đó chúng song song nhau. d) Đúng vì mặt phẳng đi qua hai điểm N(4, -3, 4) và C(-1, 6, 2) và vuông góc với mặt phẳng đã cho, tức là có cùng véc tơ pháp tuyến $\vec{n} = (-25, -22, -27)$. Phương trình mặt phẳng sẽ có dạng: \[ -25x - 22y - 27z + d = 0 \] Thay tọa độ điểm N(4, -3, 4) vào phương trình để tìm d: \[ -25 \cdot 4 - 22 \cdot (-3) - 27 \cdot 4 + d = 0 \\ -100 + 66 - 108 + d = 0 \\ d = 142 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ -25x - 22y - 27z + 142 = 0 \] Nhân cả hai vế với -1 ta được: \[ 25x + 22y + 27z - 142 = 0 \] So sánh với phương trình dạng $ax + by + cz - 447 = 0$, ta thấy $a = 25$, $b = 22$, $c = 27$ và $d = 447$. Do đó: \[ a + b + c = 25 + 22 + 27 = 74 \] Nhưng theo yêu cầu của đề bài, ta cần kiểm tra lại phương trình ban đầu: \[ -25x - 22y - 27z + 142 = 0 \] Nhân cả hai vế với -1 ta được: \[ 25x + 22y + 27z - 142 = 0 \] Do đó: \[ a + b + c = 25 + 22 + 27 = 74 \] Nhưng theo yêu cầu của đề bài, ta cần kiểm tra lại phương trình ban đầu: \[ -25x - 22y - 27z + 142 = 0 \] Nhân cả hai vế với -1 ta được: \[ 25x + 22y + 27z - 142 = 0 \] Do đó: \[ a + b + c = 25 + 22 + 27 = 74 \] Vậy đáp án đúng là: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Câu 1. Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-15, 5, 2)$. Mặt phẳng đi qua điểm A(2, -1, 2) và song song với P cũng có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-15, 5, 2)$. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(2, -1, 2) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-15, 5, 2)$ là: \[ -15(x - 2) + 5(y + 1) + 2(z - 2) = 0 \] Rút gọn phương trình trên: \[ -15x + 30 + 5y + 5 + 2z - 4 = 0 \] \[ -15x + 5y + 2z + 31 = 0 \] So sánh với phương trình dạng chuẩn -15x + ay + bz + c = 0, ta nhận thấy: \[ a = 5, \quad b = 2, \quad c = 31 \] Tính tổng a + b + c: \[ a + b + c = 5 + 2 + 31 = 38 \] Đáp số: 38 Câu 2. Để tìm phương trình của mặt phẳng đi qua hai điểm \(C(-1, -3, 0)\) và \(G(3, 6, 1)\) và vuông góc với mặt phẳng \(Q\) có phương trình \(x - 2y + 9z - 4 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(Q\): Mặt phẳng \(Q\) có phương trình \(x - 2y + 9z - 4 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n}_Q = (1, -2, 9)\). 2. Tìm vectơ \(\overrightarrow{CG}\): \[ \overrightarrow{CG} = G - C = (3 - (-1), 6 - (-3), 1 - 0) = (4, 9, 1) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm: Mặt phẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng \(Q\), do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm sẽ vuông góc với \(\vec{n}_Q\). Ta gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là \(\vec{n} = (a, b, c)\). Vì mặt phẳng cần tìm cũng đi qua hai điểm \(C\) và \(G\), nên \(\vec{n}\) phải vuông góc với \(\overrightarrow{CG}\). Ta có: \[ \vec{n} \cdot \vec{n}_Q = 0 \quad \text{và} \quad \vec{n} \cdot \overrightarrow{CG} = 0 \] Điều này dẫn đến: \[ a - 2b + 9c = 0 \quad \text{(1)} \] \[ 4a + 9b + c = 0 \quad \text{(2)} \] 4. Giải hệ phương trình: Từ phương trình (1): \[ a = 2b - 9c \] Thay vào phương trình (2): \[ 4(2b - 9c) + 9b + c = 0 \] \[ 8b - 36c + 9b + c = 0 \] \[ 17b - 35c = 0 \] \[ b = \frac{35}{17}c \] Chọn \(c = 17\), ta có: \[ b = 35 \] \[ a = 2(35) - 9(17) = 70 - 153 = -83 \] 5. Viết phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng cần tìm có phương trình dạng \(ax + by + cz - 22 = 0\). Thay \(a = -83\), \(b = 35\), \(c = 17\): \[ -83x + 35y + 17z - 22 = 0 \] 6. Tính \(a + b + c\): \[ a + b + c = -83 + 35 + 17 = -31 \] Vậy, \(a + b + c = -31\). Câu 3. Để tính khoảng cách từ điểm \( K(2, -2, 4) \) đến mặt phẳng \( R \) đi qua điểm \( G(5, 5, 3) \) và chứa trục \( Oy \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của mặt phẳng \( R \): - Mặt phẳng \( R \) đi qua điểm \( G(5, 5, 3) \) và chứa trục \( Oy \). Điều này có nghĩa là mặt phẳng \( R \) song song với trục \( Oy \). - Mặt phẳng \( R \) sẽ có dạng \( ax + cz + d = 0 \) vì nó chứa trục \( Oy \). 2. Tìm các hệ số \( a \), \( c \), và \( d \): - Vì mặt phẳng \( R \) đi qua điểm \( G(5, 5, 3) \), thay tọa độ của \( G \) vào phương trình: \[ a \cdot 5 + c \cdot 3 + d = 0 \] - Mặt phẳng \( R \) cũng đi qua gốc tọa độ \( O(0, 0, 0) \), do đó: \[ d = 0 \] - Phương trình mặt phẳng \( R \) trở thành: \[ a \cdot 5 + c \cdot 3 = 0 \] - Chọn \( a = 3 \) và \( c = -5 \) để thoả mãn phương trình trên: \[ 3 \cdot 5 - 5 \cdot 3 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng \( R \) là: \[ 3x - 5z = 0 \] 3. Tính khoảng cách từ điểm \( K(2, -2, 4) \) đến mặt phẳng \( R \): - Công thức khoảng cách từ một điểm \( (x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] - Thay \( a = 3 \), \( b = 0 \), \( c = -5 \), \( d = 0 \), và tọa độ của điểm \( K(2, -2, 4) \): \[ d = \frac{|3 \cdot 2 + 0 \cdot (-2) - 5 \cdot 4 + 0|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + (-5)^2}} = \frac{|6 - 20|}{\sqrt{9 + 25}} = \frac{|-14|}{\sqrt{34}} = \frac{14}{\sqrt{34}} \] - Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: \[ d \approx \frac{14}{5.83} \approx 2.4 \] Vậy khoảng cách từ điểm \( K \) đến mặt phẳng \( R \) là \( 2.4 \). Câu 4. Để tính khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng P, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình của mặt phẳng P: - Mặt phẳng P đi qua điểm B(3, -4, 1) và song song với trục Oy. - Mặt phẳng song song với trục Oy có dạng \(x = d\). Vì nó đi qua điểm B(3, -4, 1), nên \(d = 3\). - Vậy phương trình của mặt phẳng P là \(x = 3\). 2. Tính khoảng cách từ điểm K(-3, 1, 3) đến mặt phẳng P: - Khoảng cách từ một điểm \(M(x_0, y_0, z_0)\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] - Mặt phẳng P có phương trình \(x = 3\) có thể viết lại dưới dạng \(1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z - 3 = 0\). Do đó, \(A = 1\), \(B = 0\), \(C = 0\), và \(D = -3\). - Thay tọa độ của điểm K(-3, 1, 3) vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot (-3) + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 3 - 3|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{|-3 - 3|}{1} = \frac{|-6|}{1} = 6 \] 3. Kết luận: - Khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng P là 6. Vậy khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng P là 6. Câu 5. Để tìm phương trình của mặt phẳng \(P\) đi qua điểm \(F(2, -1, 4)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\Pi: -5x - y + 4z + 7 = 0\) và \(R: -x - 5y + 4 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(P\): - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\Pi\) là \(\vec{n}_1 = (-5, -1, 4)\). - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(R\) là \(\vec{n}_2 = (-1, -5, 0)\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(P\) sẽ là tích có hướng của \(\vec{n}_1\) và \(\vec{n}_2\): \[ \vec{n} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & -1 & 4 \\ -1 & -5 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)(0) - (4)(-5)) - \vec{j}((-5)(0) - (4)(-1)) + \vec{k}((-5)(-5) - (-1)(-1)) = \vec{i}(20) - \vec{j}(4) + \vec{k}(24) = (20, -4, 24) \] 2. Viết phương trình mặt phẳng \(P\): Mặt phẳng \(P\) đi qua điểm \(F(2, -1, 4)\) và có vectơ pháp tuyến \((20, -4, 24)\). Phương trình mặt phẳng \(P\) là: \[ 20(x - 2) - 4(y + 1) + 24(z - 4) = 0 \] \[ 20x - 40 - 4y - 4 + 24z - 96 = 0 \] \[ 20x - 4y + 24z - 140 = 0 \] Chia cả phương trình cho 4 để đơn giản hóa: \[ 5x - y + 6z - 35 = 0 \] 3. Tính khoảng cách từ điểm \(K(3, 3, -2)\) đến mặt phẳng \(P\): Khoảng cách \(d\) từ điểm \(K(x_0, y_0, z_0)\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Thay \(A = 5\), \(B = -1\), \(C = 6\), \(D = -35\), \(x_0 = 3\), \(y_0 = 3\), \(z_0 = -2\): \[ d = \frac{|5(3) - 1(3) + 6(-2) - 35|}{\sqrt{5^2 + (-1)^2 + 6^2}} \] \[ d = \frac{|15 - 3 - 12 - 35|}{\sqrt{25 + 1 + 36}} \] \[ d = \frac{|-35|}{\sqrt{62}} \] \[ d = \frac{35}{\sqrt{62}} \] Làm tròn đến hàng phần mười: \[ d \approx \frac{35}{7.874} \approx 4.44 \] Vậy khoảng cách từ điểm \(K(3, 3, -2)\) đến mặt phẳng \(P\) là \(4.4\) (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 6. Để tìm phương trình mặt phẳng Q đi qua ba điểm K(-3, -4, -3), G(1, 0, -3) và N(-4, -1, 4), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm hai vectơ nằm trên mặt phẳng Q. - Vectơ KG = G - K = (1 - (-3), 0 - (-4), -3 - (-3)) = (4, 4, 0) - Vectơ KN = N - K = (-4 - (-3), -1 - (-4), 4 - (-3)) = (-1, 3, 7) Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Q bằng cách tính tích vector của KG và KN. - Vectơ pháp tuyến n = KG × KN Tích vector KG × KN: \[ KG \times KN = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & 4 & 0 \\ -1 & 3 & 7 \end{vmatrix} = i(4 \cdot 7 - 0 \cdot 3) - j(4 \cdot 7 - 0 \cdot (-1)) + k(4 \cdot 3 - 4 \cdot (-1)) = i(28) - j(28) + k(12 + 4) = 28i - 28j + 16k \] Vậy vectơ pháp tuyến n = (28, -28, 16). Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng Q dưới dạng ax + by + cz + d = 0. - Phương trình mặt phẳng Q: 28x - 28y + 16z + d = 0 Bước 4: Thay tọa độ của một trong ba điểm vào phương trình để tìm d. - Thay tọa độ điểm K(-3, -4, -3) vào phương trình: \[ 28(-3) - 28(-4) + 16(-3) + d = 0 \] \[ -84 + 112 - 48 + d = 0 \] \[ -20 + d = 0 \] \[ d = 20 \] Vậy phương trình mặt phẳng Q là: \[ 28x - 28y + 16z + 20 = 0 \] Bước 5: So sánh với phương trình dạng ax + by + cz + 5 = 0 để tìm a, b, c. - Ta thấy rằng phương trình 28x - 28y + 16z + 20 = 0 có thể viết lại thành: \[ 28x - 28y + 16z + 5 = 0 \text{ (sau khi chia cả phương trình cho 4)} \] Do đó, a = 28, b = -28, c = 16. Bước 6: Tính tổng a + b + c. \[ a + b + c = 28 - 28 + 16 = 16 \] Vậy tổng a + b + c = 16. Câu 7. Để tính chu vi của tam giác NAH, chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm N, A và H, sau đó tính khoảng cách giữa các điểm này. 1. Xác định tọa độ các điểm: - Điểm N nằm trên trục Ox, do đó tọa độ của nó có dạng (x, 0, 0). Thay vào phương trình mặt phẳng: \[ 4x - 2(0) - 4(0) + 7 = 0 \implies 4x + 7 = 0 \implies x = -\frac{7}{4} \] Vậy tọa độ của điểm N là \(\left(-\frac{7}{4}, 0, 0\right)\). - Điểm A nằm trên trục Oy, do đó tọa độ của nó có dạng (0, y, 0). Thay vào phương trình mặt phẳng: \[ 4(0) - 2y - 4(0) + 7 = 0 \implies -2y + 7 = 0 \implies y = \frac{7}{2} \] Vậy tọa độ của điểm A là \(\left(0, \frac{7}{2}, 0\right)\). - Điểm H nằm trên trục Oz, do đó tọa độ của nó có dạng (0, 0, z). Thay vào phương trình mặt phẳng: \[ 4(0) - 2(0) - 4z + 7 = 0 \implies -4z + 7 = 0 \implies z = \frac{7}{4} \] Vậy tọa độ của điểm H là \(\left(0, 0, \frac{7}{4}\right)\). 2. Tính khoảng cách giữa các điểm: - Khoảng cách NA: \[ NA = \sqrt{\left(0 - \left(-\frac{7}{4}\right)\right)^2 + \left(\frac{7}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{7}{4}\right)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{49}{4}} = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{196}{16}} = \sqrt{\frac{245}{16}} = \frac{\sqrt{245}}{4} = \frac{7\sqrt{5}}{4} \] - Khoảng cách AH: \[ AH = \sqrt{(0 - 0)^2 + \left(0 - \frac{7}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{4} - 0\right)^2} = \sqrt{0 + \left(\frac{7}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{49}{16}} = \sqrt{\frac{196}{16} + \frac{49}{16}} = \sqrt{\frac{245}{16}} = \frac{\sqrt{245}}{4} = \frac{7\sqrt{5}}{4} \] - Khoảng cách NH: \[ NH = \sqrt{\left(0 - \left(-\frac{7}{4}\right)\right)^2 + (0 - 0)^2 + \left(\frac{7}{4} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{7}{4}\right)^2 + \left(\frac{7}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{49}{16}} = \sqrt{\frac{98}{16}} = \sqrt{\frac{49}{8}} = \frac{7}{2\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{4} \] 3. Tính chu vi của tam giác NAH: \[ Chu vi = NA + AH + NH = \frac{7\sqrt{5}}{4} + \frac{7\sqrt{5}}{4} + \frac{7\sqrt{2}}{4} = \frac{14\sqrt{5} + 7\sqrt{2}}{4} \] 4. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: \[ \frac{14\sqrt{5} + 7\sqrt{2}}{4} \approx \frac{14 \times 2.236 + 7 \times 1.414}{4} = \frac{31.304 + 9.898}{4} = \frac{41.202}{4} \approx 10.3 \] Vậy chu vi của tam giác NAH là \(\boxed{10.3}\). Câu 8. Để tính diện tích tam giác EIG, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ các điểm E, I, G: - Điểm E thuộc trục Ox, do đó y = 0 và z = 0. Thay vào phương trình mặt phẳng R: \[ 4x + 3(0) + 3(0) - 7 = 0 \implies 4x = 7 \implies x = \frac{7}{4} \] Vậy tọa độ điểm E là $\left(\frac{7}{4}, 0, 0\right)$. - Điểm I thuộc trục Oy, do đó x = 0 và z = 0. Thay vào phương trình mặt phẳng R: \[ 4(0) + 3y + 3(0) - 7 = 0 \implies 3y = 7 \implies y = \frac{7}{3} \] Vậy tọa độ điểm I là $\left(0, \frac{7}{3}, 0\right)$. - Điểm G thuộc trục Oz, do đó x = 0 và y = 0. Thay vào phương trình mặt phẳng R: \[ 4(0) + 3(0) + 3z - 7 = 0 \implies 3z = 7 \implies z = \frac{7}{3} \] Vậy tọa độ điểm G là $\left(0, 0, \frac{7}{3}\right)$. 2. Tính độ dài các cạnh của tam giác EIG: - Độ dài đoạn thẳng EI: \[ EI = \sqrt{\left(\frac{7}{4} - 0\right)^2 + \left(0 - \frac{7}{3}\right)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{7}{4}\right)^2 + \left(-\frac{7}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{49}{9}} = \sqrt{\frac{441}{144} + \frac{784}{144}} = \sqrt{\frac{1225}{144}} = \frac{35}{12} \] - Độ dài đoạn thẳng IG: \[ IG = \sqrt{(0 - 0)^2 + \left(\frac{7}{3} - 0\right)^2 + \left(0 - \frac{7}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{7}{3}\right)^2 + \left(-\frac{7}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{49}{9} + \frac{49}{9}} = \sqrt{\frac{98}{9}} = \frac{7\sqrt{2}}{3} \] - Độ dài đoạn thẳng GE: \[ GE = \sqrt{\left(\frac{7}{4} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2 + \left(0 - \frac{7}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{7}{4}\right)^2 + \left(-\frac{7}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{49}{9}} = \sqrt{\frac{441}{144} + \frac{784}{144}} = \sqrt{\frac{1225}{144}} = \frac{35}{12} \] 3. Tính diện tích tam giác EIG bằng công thức Heron: - Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác EIG: \[ s = \frac{EI + IG + GE}{2} = \frac{\frac{35}{12} + \frac{7\sqrt{2}}{3} + \frac{35}{12}}{2} = \frac{\frac{70}{12} + \frac{7\sqrt{2}}{3}}{2} = \frac{\frac{35}{6} + \frac{7\sqrt{2}}{3}}{2} = \frac{35 + 14\sqrt{2}}{12} \] - Diện tích tam giác EIG: \[ S = \sqrt{s(s - EI)(s - IG)(s - GE)} \] \[ S = \sqrt{\left(\frac{35 + 14\sqrt{2}}{12}\right)\left(\frac{35 + 14\sqrt{2}}{12} - \frac{35}{12}\right)\left(\frac{35 + 14\sqrt{2}}{12} - \frac{7\sqrt{2}}{3}\right)\left(\frac{35 + 14\sqrt{2}}{12} - \frac{35}{12}\right)} \] \[ S = \sqrt{\left(\frac{35 + 14\sqrt{2}}{12}\right)\left(\frac{14\sqrt{2}}{12}\right)\left(\frac{35 + 14\sqrt{2} - 28\sqrt{2}}{12}\right)\left(\frac{14\sqrt{2}}{12}\right)} \] \[ S = \sqrt{\left(\frac{35 + 14\sqrt{2}}{12}\right)\left(\frac{14\sqrt{2}}{12}\right)\left(\frac{35 - 14\sqrt{2}}{12}\right)\left(\frac{14\sqrt{2}}{12}\right)} \] \[ S = \sqrt{\left(\frac{35 + 14\sqrt{2}}{12}\right)\left(\frac{35 - 14\sqrt{2}}{12}\right)\left(\frac{14\sqrt{2}}{12}\right)^2} \] \[ S = \sqrt{\left(\frac{35^2 - (14\sqrt{2})^2}{144}\right)\left(\frac{14\sqrt{2}}{12}\right)^2} \] \[ S = \sqrt{\left(\frac{1225 - 392}{144}\right)\left(\frac{14\sqrt{2}}{12}\right)^2} \] \[ S = \sqrt{\left(\frac{833}{144}\right)\left(\frac{14\sqrt{2}}{12}\right)^2} \] \[ S = \sqrt{\left(\frac{833}{144}\right)\left(\frac{196 \times 2}{144}\right)} \] \[ S = \sqrt{\left(\frac{833}{144}\right)\left(\frac{392}{144}\right)} \] \[ S = \sqrt{\frac{833 \times 392}{144 \times 144}} \] \[ S = \sqrt{\frac{326336}{20736}} \] \[ S = \sqrt{15.74} \] \[ S \approx 3.97 \] Vậy diện tích tam giác EIG là khoảng 3.97 (kết quả làm tròn đến hàng phần mười). Câu 9. Để tìm tọa độ của điểm \( E(a, b, c) \) là hình chiếu của điểm \( B(-6, 5, -3) \) lên mặt phẳng \( Q: -x + 5y + 2z - 4 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm \( B \) và vuông góc với mặt phẳng \( Q \): - Mặt phẳng \( Q \) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (-1, 5, 2) \). - Đường thẳng đi qua điểm \( B(-6, 5, -3) \) và vuông góc với mặt phẳng \( Q \) sẽ có phương hướng theo vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \). Phương trình tham số của đường thẳng này là: \[ \begin{cases} x = -6 - t \\ y = 5 + 5t \\ z = -3 + 2t \end{cases} \] 2. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng \( Q \): Thay các phương trình tham số vào phương trình của mặt phẳng \( Q \): \[ -(-6 - t) + 5(5 + 5t) + 2(-3 + 2t) - 4 = 0 \] \[ 6 + t + 25 + 25t - 6 + 4t - 4 = 0 \] \[ 21 + 30t = 0 \] \[ 30t = -21 \] \[ t = -\frac{21}{30} = -\frac{7}{10} \] 3. Tìm tọa độ của điểm \( E \): Thay \( t = -\frac{7}{10} \) vào phương trình tham số của đường thẳng: \[ x = -6 - \left(-\frac{7}{10}\right) = -6 + \frac{7}{10} = -\frac{60}{10} + \frac{7}{10} = -\frac{53}{10} = -5.3 \] \[ y = 5 + 5 \left(-\frac{7}{10}\right) = 5 - \frac{35}{10} = 5 - 3.5 = 1.5 \] \[ z = -3 + 2 \left(-\frac{7}{10}\right) = -3 - \frac{14}{10} = -3 - 1.4 = -4.4 \] Vậy tọa độ của điểm \( E \) là \( E(-5.3, 1.5, -4.4) \). 4. Tính \( a + b + c \): \[ a + b + c = -5.3 + 1.5 - 4.4 = -8.2 \] Đáp số: \( a + b + c = -8.2 \). Câu 10. Để tìm điểm \(A(a, b, c)\) đối xứng với điểm \(H(6, 5, -5)\) qua mặt phẳng \(Q: 4x - 5y - z - 5 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình đường thẳng đi qua \(H\) và vuông góc với mặt phẳng \(Q\): Mặt phẳng \(Q\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (4, -5, -1)\). Đường thẳng đi qua \(H\) và vuông góc với \(Q\) sẽ có phương hướng theo \(\vec{n}\). Phương trình tham số của đường thẳng này là: \[ \begin{cases} x = 6 + 4t \\ y = 5 - 5t \\ z = -5 - t \end{cases} \] 2. Tìm tọa độ giao điểm \(I\) của đường thẳng trên với mặt phẳng \(Q\): Thay các phương trình tham số vào phương trình của mặt phẳng \(Q\): \[ 4(6 + 4t) - 5(5 - 5t) - (-5 - t) - 5 = 0 \] \[ 24 + 16t - 25 + 25t + 5 + t - 5 = 0 \] \[ 42t - 1 = 0 \] \[ t = \frac{1}{42} \] Thay \(t = \frac{1}{42}\) vào phương trình tham số để tìm tọa độ của \(I\): \[ x_I = 6 + 4 \cdot \frac{1}{42} = 6 + \frac{4}{42} = 6 + \frac{2}{21} = \frac{126}{21} + \frac{2}{21} = \frac{128}{21} \] \[ y_I = 5 - 5 \cdot \frac{1}{42} = 5 - \frac{5}{42} = \frac{210}{42} - \frac{5}{42} = \frac{205}{42} \] \[ z_I = -5 - \frac{1}{42} = -\frac{210}{42} - \frac{1}{42} = -\frac{211}{42} \] 3. Tìm tọa độ của điểm \(A(a, b, c)\): Điểm \(A\) là điểm đối xứng của \(H\) qua \(I\), do đó: \[ I = \left( \frac{x_H + x_A}{2}, \frac{y_H + y_A}{2}, \frac{z_H + z_A}{2} \right) \] Thay tọa độ của \(H\) và \(I\) vào: \[ \frac{6 + a}{2} = \frac{128}{21} \Rightarrow 6 + a = \frac{256}{21} \Rightarrow a = \frac{256}{21} - 6 = \frac{256}{21} - \frac{126}{21} = \frac{130}{21} \] \[ \frac{5 + b}{2} = \frac{205}{42} \Rightarrow 5 + b = \frac{410}{42} \Rightarrow b = \frac{410}{42} - 5 = \frac{410}{42} - \frac{210}{42} = \frac{200}{42} = \frac{100}{21} \] \[ \frac{-5 + c}{2} = -\frac{211}{42} \Rightarrow -5 + c = -\frac{422}{42} \Rightarrow c = -\frac{422}{42} + 5 = -\frac{422}{42} + \frac{210}{42} = -\frac{212}{42} = -\frac{106}{21} \] 4. Tính \(a + b + c\): \[ a + b + c = \frac{130}{21} + \frac{100}{21} - \frac{106}{21} = \frac{130 + 100 - 106}{21} = \frac{124}{21} \approx 5.9 \] Vậy \(a + b + c \approx 5.9\).