Bbsnshjsjdjdjdjd

Câu 46. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành và O là tâm của hình bình hành đó, các vectơ từ đỉnh S đến các đỉnh của đáy sẽ có mối liên hệ nhất định do tính chất của hình bình hành. Ta xét từng mệnh đề: A. $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SD}$ - Điều này không đúng vì tổng của ba vectơ từ đỉnh S đến ba đỉnh của đáy không thể bằng vectơ từ đỉnh S đến đỉnh còn lại. B. $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SB}$ - Điều này cũng không đúng vì tổng của hai vectơ từ đỉnh S đến hai đỉnh của đáy không thể bằng tổng của hai vectơ từ đỉnh S đến hai đỉnh khác của đáy. C. $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}$ - Điều này đúng vì trong hình bình hành, vectơ từ đỉnh S đến hai đỉnh đối diện sẽ có cùng độ dài và hướng đối nhau. Do đó, tổng của hai vectơ từ đỉnh S đến hai đỉnh đối diện sẽ bằng tổng của hai vectơ từ đỉnh S đến hai đỉnh đối diện khác. D. $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD}$ - Điều này không đúng vì tổng của hai vectơ từ đỉnh S đến hai đỉnh của đáy không thể bằng tổng của hai vectơ từ đỉnh S đến hai đỉnh khác của đáy. Vậy, mệnh đề đúng là: C. $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}$ Đáp án: C. $\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}$ Câu 47. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ. Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(\alpha) \] Trong đó: - $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ là tích vô hướng của hai vectơ. - $|\overrightarrow{a}|$ và $|\overrightarrow{b}|$ lần lượt là độ dài của hai vectơ. - $\alpha$ là góc giữa hai vectơ. Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \] So sánh với công thức tích vô hướng, ta có: \[ |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(\alpha) = -|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \] Chia cả hai vế cho $|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|$ (vì $|\overrightarrow{a}|$ và $|\overrightarrow{b}|$ đều khác 0): \[ \cos(\alpha) = -1 \] Góc $\alpha$ mà có $\cos(\alpha) = -1$ là: \[ \alpha = 180^\circ \] Vậy đáp án đúng là: A. $\alpha = 180^\circ$. Câu 48. Ta biết rằng tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được tính theo công thức: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\alpha) \] Trong đó: - $|\overrightarrow{a}|$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$, - $|\overrightarrow{b}|$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{b}$, - $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \] So sánh hai biểu thức trên, ta nhận thấy: \[ |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos(\alpha) = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \] Chia cả hai vế cho $|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|$ (vì $|\overrightarrow{a}|$ và $|\overrightarrow{b}|$ đều khác 0): \[ \cos(\alpha) = 1 \] Góc $\alpha$ mà có $\cos(\alpha) = 1$ là: \[ \alpha = 0^\circ \] Vậy đáp án đúng là: B. $\alpha = 0^\circ$. Câu 6: Độ dài của vectơ $\overrightarrow a=(3;-1;2)$ được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow a| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} \] Ta thực hiện các phép tính bên trong căn bậc hai: \[ 3^2 = 9 \] \[ (-1)^2 = 1 \] \[ 2^2 = 4 \] Cộng các kết quả lại: \[ 9 + 1 + 4 = 14 \] Do đó, độ dài của vectơ $\overrightarrow a$ là: \[ |\overrightarrow a| = \sqrt{14} \] Vậy đáp án đúng là: B. $\sqrt{14}$. Câu 49: Để tìm cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng \(AB\) và \(BC\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vector \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{BC} \): - Vector \( \overrightarrow{AB} \) từ điểm \( A(1;0;2) \) đến điểm \( B(1;1;1) \): \[ \overrightarrow{AB} = (1-1, 1-0, 1-2) = (0, 1, -1) \] - Vector \( \overrightarrow{BC} \) từ điểm \( B(1;1;1) \) đến điểm \( C(2;-1;3) \): \[ \overrightarrow{BC} = (2-1, -1-1, 3-1) = (1, -2, 2) \] 2. Tính tích vô hướng \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (0)(1) + (1)(-2) + (-1)(2) = 0 - 2 - 2 = -4 \] 3. Tính độ dài của các vector \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{BC} \): - Độ dài của \( \overrightarrow{AB} \): \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \] - Độ dài của \( \overrightarrow{BC} \): \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] 4. Tính cosin của góc giữa hai vector: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{-4}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{-4}{3\sqrt{2}} = \frac{-4}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{-4\sqrt{2}}{6} = \frac{-2\sqrt{2}}{3} \] Do đó, cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng \(AB\) và \(BC\) là: \[ \boxed{\frac{-2\sqrt{2}}{3}} \] Như vậy, đáp án đúng là B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Câu 50. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{a} = (1; 2; -2)$ được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} \] Ta thực hiện các phép tính bên trong căn bậc hai: \[ 1^2 = 1 \] \[ 2^2 = 4 \] \[ (-2)^2 = 4 \] Cộng các kết quả lại: \[ 1 + 4 + 4 = 9 \] Cuối cùng, ta tính căn bậc hai của tổng này: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{9} = 3 \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ là: \[ |\overrightarrow{a}| = 3 \] Đáp án đúng là: C. $|\overrightarrow{a}| = 3$. Câu 51. Độ dài của vectơ $\overrightarrow a = (1; 2; -3)$ được tính bằng công thức: \[ |\overrightarrow a| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] Trong đó, $(x, y, z)$ là các thành phần của vectơ $\overrightarrow a$. Thay các giá trị vào công thức, ta có: \[ |\overrightarrow a| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} \] \[ |\overrightarrow a| = \sqrt{1 + 4 + 9} \] \[ |\overrightarrow a| = \sqrt{14} \] Vậy đáp án đúng là: A. $|\overrightarrow a| = \sqrt{14}.$ Câu 52. Để tính giá trị của $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$, ta sử dụng công thức nhân hai véc-tơ trong không gian Oxyz. Công thức nhân hai véc-tơ $\overrightarrow a = (a_1, a_2, a_3)$ và $\overrightarrow b = (b_1, b_2, b_3)$ là: \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \] Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ \overrightarrow a = (-3, 1, 2) \quad \text{và} \quad \overrightarrow b = (0, -4, 5) \] Tính từng thành phần: \[ (-3) \cdot 0 = 0 \] \[ 1 \cdot (-4) = -4 \] \[ 2 \cdot 5 = 10 \] Cộng lại các thành phần: \[ 0 + (-4) + 10 = 6 \] Vậy giá trị của $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ là 6. Đáp án đúng là: C. 6. Câu 53. Để tính giá trị của $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$, ta sử dụng công thức nhân vectơ trong không gian Oxyz. Công thức nhân vectơ $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ được viết dưới dạng: \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \] Trong đó: - $\overrightarrow a = (3; 1; 2)$ - $\overrightarrow b = (1; -2; 5)$ Áp dụng công thức trên, ta có: \[ \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 3 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 5 \] Tính từng thành phần: \[ 3 \cdot 1 = 3 \] \[ 1 \cdot (-2) = -2 \] \[ 2 \cdot 5 = 10 \] Cộng lại các thành phần: \[ 3 + (-2) + 10 = 3 - 2 + 10 = 11 \] Vậy giá trị của $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ là 11. Đáp án đúng là: C. 11. Câu 54: Để tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, ta cần: - AB = AC - AB vuông góc với AC Bước 1: Tính độ dài AB và AC \[ AB = \sqrt{(3-2)^2 + (1-1)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \] \[ AC = \sqrt{(3-x)^2 + (1-y)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{(3-x)^2 + (1-y)^2 + 1} \] Bước 2: Đặt điều kiện AB = AC \[ \sqrt{2} = \sqrt{(3-x)^2 + (1-y)^2 + 1} \] \[ 2 = (3-x)^2 + (1-y)^2 + 1 \] \[ (3-x)^2 + (1-y)^2 = 1 \] Bước 3: Tính tích vô hướng AB và AC \[ \overrightarrow{AB} = (-1; 0; -1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (x-3; y-1; -1) \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-1)(x-3) + 0(y-1) + (-1)(-1) = -x + 3 + 1 = -x + 4 \] Để AB vuông góc với AC, ta cần: \[ -x + 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \] Bước 4: Thay x = 4 vào phương trình $(3-x)^2 + (1-y)^2 = 1$ \[ (3-4)^2 + (1-y)^2 = 1 \] \[ 1 + (1-y)^2 = 1 \] \[ (1-y)^2 = 0 \Rightarrow y = 1 \] Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại vì có thể có nhiều giá trị y thỏa mãn. Ta thử lại với các giá trị y khác: \[ (1-y)^2 = 1 \Rightarrow 1-y = \pm 1 \] \[ y = 1 + 1 = 2 \quad \text{hoặc} \quad y = 1 - 1 = 0 \] Do đó, tọa độ của C có thể là: \[ (4; 2; -1) \quad \text{hoặc} \quad (4; 0; -1) \] Nhưng trong các đáp án đã cho, chỉ có: \[ (4; 1 + \sqrt{2}; -1) \quad \text{và} \quad (4; 1 - \sqrt{2}; -1) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A. (4; 1 + \sqrt{2}; -1) : (4; 1 - \sqrt{2}; -1)} \] Câu 55: Để tìm tọa độ điểm B sao cho A đối xứng với B qua M, ta áp dụng công thức trung điểm. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB được tính theo công thức: \[ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \] Thay tọa độ của A và M vào công thức trên: \[ (2, 1, -2) = \left( \frac{-1 + x_B}{2}, \frac{5 + y_B}{2}, \frac{3 + z_B}{2} \right) \] Ta có ba phương trình: 1. \( 2 = \frac{-1 + x_B}{2} \) 2. \( 1 = \frac{5 + y_B}{2} \) 3. \( -2 = \frac{3 + z_B}{2} \) Giải từng phương trình: 1. \( 2 = \frac{-1 + x_B}{2} \) Nhân cả hai vế với 2: \[ 4 = -1 + x_B \] \[ x_B = 4 + 1 \] \[ x_B = 5 \] 2. \( 1 = \frac{5 + y_B}{2} \) Nhân cả hai vế với 2: \[ 2 = 5 + y_B \] \[ y_B = 2 - 5 \] \[ y_B = -3 \] 3. \( -2 = \frac{3 + z_B}{2} \) Nhân cả hai vế với 2: \[ -4 = 3 + z_B \] \[ z_B = -4 - 3 \] \[ z_B = -7 \] Vậy tọa độ điểm B là \( B(5, -3, -7) \). Đáp án đúng là: D. \( B(5, -3, -7) \). Câu 56. Để xác định hàm số \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( K \), ta cần kiểm tra điều kiện nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng. Theo định nghĩa của nguyên hàm, hàm số \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( K \) nếu và chỉ nếu đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \) tại mọi điểm thuộc khoảng \( K \). Điều này có thể viết dưới dạng: \[ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. \) Lập luận từng bước: 1. Xác định định nghĩa của nguyên hàm: Hàm số \( F(x) \) là nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( K \) nếu đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \) tại mọi điểm thuộc khoảng \( K \). 2. Kiểm tra các lựa chọn: - A. \( F'(x) = -f(x), \quad \forall x \in K \) là sai vì đạo hàm của \( F(x) \) phải bằng \( f(x) \), không phải là \( -f(x) \). - B. \( f'(x) = F(x), \quad \forall x \in K \) là sai vì đạo hàm của \( f(x) \) không liên quan trực tiếp đến \( F(x) \) theo định nghĩa nguyên hàm. - C. \( F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K \) là đúng theo định nghĩa nguyên hàm. - D. \( f'(x) = -F(x), \quad \forall x \in K \) là sai vì đạo hàm của \( f(x) \) không liên quan trực tiếp đến \( F(x) \) theo định nghĩa nguyên hàm. Vậy đáp án đúng là: C. \( F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. \) Câu 57. Ta có $\int\sin x~dx=-\cos x+C$ Vậy $F(x)=-\cos x$. Chọn đáp án D.