Giải chi tiết phần đúng sai

Câu 12. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow c$, ta thực hiện phép tính $2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b$. Bước 1: Xác định tọa độ của $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$: - $\overrightarrow a = (1; 2; -3)$ - $\overrightarrow b = (-2; 2; 0)$ Bước 2: Nhân vectơ $\overrightarrow a$ với 2: \[ 2\overrightarrow a = 2(1; 2; -3) = (2 \cdot 1; 2 \cdot 2; 2 \cdot -3) = (2; 4; -6) \] Bước 3: Nhân vectơ $\overrightarrow b$ với 3: \[ 3\overrightarrow b = 3(-2; 2; 0) = (3 \cdot -2; 3 \cdot 2; 3 \cdot 0) = (-6; 6; 0) \] Bước 4: Thực hiện phép trừ giữa hai vectơ đã nhân: \[ \overrightarrow c = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b = (2; 4; -6) - (-6; 6; 0) = (2 + 6; 4 - 6; -6 - 0) = (8; -2; -6) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow c$ là $(8; -2; -6)$. Do đó, đáp án đúng là: B. $\overrightarrow c = (8; -2; -6)$. Câu 1. Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm vào năm 1991. Đầu tiên, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( f(t) \): \[ f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ f'(t) = \frac{(26)(t + 5) - (26t + 10)(1)}{(t + 5)^2} = \frac{26t + 130 - 26t - 10}{(t + 5)^2} = \frac{120}{(t + 5)^2} \] Năm 1991 là \( t = 1991 - 1970 = 21 \). Thay \( t = 21 \) vào \( f'(t) \): \[ f'(21) = \frac{120}{(21 + 5)^2} = \frac{120}{26^2} = \frac{120}{676} = \frac{30}{169} \approx 0,1775 \] Vậy tốc độ tăng dân số vào năm 1991 là khoảng 0,1775 nghìn người/năm, không phải 0,192 nghìn người/năm. b) Dân số của thị trấn vào năm 1970 (làm tròn đến hàng phần nghìn) là: 2000 người. Năm 1970 là \( t = 0 \). Thay \( t = 0 \) vào \( f(t) \): \[ f(0) = \frac{26 \cdot 0 + 10}{0 + 5} = \frac{10}{5} = 2 \text{ (nghìn người)} \] Vậy dân số của thị trấn vào năm 1970 là 2000 người. c) Tốc độ tăng dân số vào năm 2022 là: \(\frac{15}{338}\). Năm 2022 là \( t = 2022 - 1970 = 52 \). Thay \( t = 52 \) vào \( f'(t) \): \[ f'(52) = \frac{120}{(52 + 5)^2} = \frac{120}{57^2} = \frac{120}{3249} = \frac{40}{1083} \approx 0,0369 \] Vậy tốc độ tăng dân số vào năm 2022 là khoảng 0,0369 nghìn người/năm, không phải \(\frac{15}{338}\). d) Dân số của thị trấn vào năm 2022 (làm tròn đến hàng phần nghìn) là: 23895 người. Năm 2022 là \( t = 52 \). Thay \( t = 52 \) vào \( f(t) \): \[ f(52) = \frac{26 \cdot 52 + 10}{52 + 5} = \frac{1352 + 10}{57} = \frac{1362}{57} \approx 23,895 \text{ (nghìn người)} \] Vậy dân số của thị trấn vào năm 2022 là khoảng 23895 người. Kết luận: - Đáp án đúng cho câu a) là tốc độ tăng dân số vào năm 1991 là khoảng 0,1775 nghìn người/năm. - Đáp án đúng cho câu b) là dân số của thị trấn vào năm 1970 là 2000 người. - Đáp án đúng cho câu c) là tốc độ tăng dân số vào năm 2022 là khoảng 0,0369 nghìn người/năm. - Đáp án đúng cho câu d) là dân số của thị trấn vào năm 2022 là khoảng 23895 người. Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu a), b), c) và d). a) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc thuộc $[3;6)$ Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị chia dãy số thành hai phần, mỗi phần chứa 25% dữ liệu. Với tổng số học sinh là 50 (3 + 10 + 14 + 23), tứ phân vị thứ nhất sẽ nằm ở vị trí $\frac{50}{4} = 12,5$. Do đó, Q1 nằm giữa giá trị thứ 12 và 13. - Nhóm [0;3) có 3 học sinh. - Nhóm [3;6) có 10 học sinh, tổng cộng là 13 học sinh. Vậy Q1 nằm trong khoảng [3;6). Phát biểu đúng. b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 12 (giờ) Khoảng biến thiên là sự khác biệt giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số. - Giá trị nhỏ nhất: 0 giờ (nhóm [0;3)). - Giá trị lớn nhất: 12 giờ (nhóm $[9;12)$). Khoảng biến thiên = 12 - 0 = 12 giờ. Phát biểu đúng. c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 7,9 (làm tròn đến hàng phần mười) Phương sai được tính bằng công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] Trước tiên, chúng ta cần tính trung bình cộng ($\bar{x}$): \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{n} \] - Nhóm [0;3) có trung điểm là 1,5, với 3 học sinh. - Nhóm [3;6) có trung điểm là 4,5, với 10 học sinh. - Nhóm [6;9) có trung điểm là 7,5, với 14 học sinh. - Nhóm $[9;12)$ có trung điểm là 10,5, với 23 học sinh. Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(1,5 \times 3) + (4,5 \times 10) + (7,5 \times 14) + (10,5 \times 23)}{50} \] \[ \bar{x} = \frac{4,5 + 45 + 105 + 241,5}{50} \] \[ \bar{x} = \frac{396}{50} = 7,92 \] Bây giờ, tính phương sai: \[ s^2 = \frac{(3 \times (1,5 - 7,92)^2) + (10 \times (4,5 - 7,92)^2) + (14 \times (7,5 - 7,92)^2) + (23 \times (10,5 - 7,92)^2)}{50} \] \[ s^2 = \frac{(3 \times (-6,42)^2) + (10 \times (-3,42)^2) + (14 \times (-0,42)^2) + (23 \times (2,58)^2)}{50} \] \[ s^2 = \frac{(3 \times 41,2164) + (10 \times 11,6964) + (14 \times 0,1764) + (23 \times 6,6564)}{50} \] \[ s^2 = \frac{123,6492 + 116,964 + 2,4696 + 153,0972}{50} \] \[ s^2 = \frac{396,17}{50} = 7,9234 \approx 7,9 \] Phát biểu đúng. d) Khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $\frac{681}{460}$ Khoảng tử phân vị (IQR) là sự khác biệt giữa tứ phân vị thứ ba (Q3) và tứ phân vị thứ nhất (Q1). - Q1 đã xác định là nằm trong khoảng [3;6). - Q3 nằm ở vị trí $\frac{3 \times 50}{4} = 37,5$, tức là giữa giá trị thứ 37 và 38. Nhóm [6;9) có 14 học sinh, nhóm $[9;12)$ có 23 học sinh, tổng cộng là 37 học sinh. Q3 nằm trong nhóm $[9;12)$. Q3 = 9 + $\frac{(37,5 - 37) \times 3}{23}$ = 9 + $\frac{0,5 \times 3}{23}$ = 9 + $\frac{1,5}{23}$ ≈ 9,0652 Khoảng tử phân vị: \[ IQR = Q3 - Q1 \] \[ IQR = 9,0652 - 4,5 = 4,5652 \] Phát biểu sai vì $\frac{681}{460} \approx 1,48$. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Đồ thị hàm số $f(x)$ có 1 tiệm cận ngang Tiệm cận ngang của hàm số $f(x) = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2}$ được xác định bằng cách tính giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x - 1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x - 1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = x \] Khi $x$ tiến đến vô cùng, $\frac{1}{x}$ và $\frac{2}{x}$ tiến đến 0, do đó: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x - 1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = x \] Như vậy, không có tiệm cận ngang. Do đó, đáp án a) sai. b) Đồ thị hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị nằm 2 phía đối với trục oy Để tìm cực trị của hàm số, chúng ta cần tính đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = \left( \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{(x^2 - x - 1)'(x - 2) - (x^2 - x - 1)(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{(2x - 1)(x - 2) - (x^2 - x - 1)}{(x - 2)^2} \] Rút gọn: \[ f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - x + 2 - x^2 + x + 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} \] Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình $f'(x) = 0$: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm: \[ x = 1 \quad \text{và} \quad x = 3 \] Do đó, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ở $x = 1$ và $x = 3$. Điểm cực trị này nằm ở hai phía đối với trục Oy. Đáp án b) đúng. c) Đồ thị của hàm số $f(x)$ không cắt trục ox Để kiểm tra xem đồ thị có cắt trục Ox hay không, chúng ta cần giải phương trình $f(x) = 0$: \[ \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ x^2 - x - 1 = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm thực: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Như vậy, đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm. Đáp án c) sai. d) Đồ thị của hàm số $f(x)$ cắt trục oy tại điểm M. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x)$ tại M là $3x - 4y + 2 = 0$ Để tìm giao điểm của đồ thị với trục Oy, chúng ta thay $x = 0$ vào hàm số: \[ f(0) = \frac{0^2 - 0 - 1}{0 - 2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \] Vậy điểm M là $(0, \frac{1}{2})$. Tiếp theo, chúng ta cần kiểm tra phương trình tiếp tuyến tại điểm M. Đạo hàm của $f(x)$ tại $x = 0$ là: \[ f'(0) = \frac{0^2 - 4 \cdot 0 + 3}{(0 - 2)^2} = \frac{3}{4} \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0, \frac{1}{2})$ là: \[ y - \frac{1}{2} = \frac{3}{4}(x - 0) \] Rút gọn: \[ y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} \] Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ phân số: \[ 4y = 3x + 2 \] Di chuyển tất cả các hạng mục sang một bên: \[ 3x - 4y + 2 = 0 \] Đáp án d) đúng. Kết luận Đáp án đúng là: b) Đồ thị hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị nằm 2 phía đối với trục oy. d) Đồ thị của hàm số $f(x)$ cắt trục oy tại điểm M. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x)$ tại M là $3x - 4y + 2 = 0$. Câu 4. a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác A'BC là $(1;1\frac43).$ Để tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác A'BC, ta cần biết tọa độ của các đỉnh A', B và C. - Tọa độ của A' là (0; 0; 4) vì A' nằm thẳng đứng trên A với khoảng cách 4 đơn vị theo trục Oz. - Tọa độ của B là (2; 0; 0). - Tọa độ của C là (2; 3; 0). Tọa độ trọng tâm G của tam giác A'BC được tính bằng cách lấy trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh: \[ G = \left( \frac{x_{A'} + x_B + x_C}{3}, \frac{y_{A'} + y_B + y_C}{3}, \frac{z_{A'} + z_B + z_C}{3} \right) \] Thay tọa độ vào công thức: \[ G = \left( \frac{0 + 2 + 2}{3}, \frac{0 + 0 + 3}{3}, \frac{4 + 0 + 0}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{4}{3}, \frac{3}{3}, \frac{4}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{4}{3}, 1, \frac{4}{3} \right) \] Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác A'BC là $\left( \frac{4}{3}, 1, \frac{4}{3} \right)$. b) Tọa độ đỉnh C là (2;3;0). Để xác định tọa độ đỉnh C, ta cần biết rằng trong hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', đỉnh C nằm ở góc giữa cạnh AB và AD, và cùng mặt phẳng với B và D. - Tọa độ của B là (2; 0; 0). - Tọa độ của D là (0; 3; 0). Do đó, tọa độ của C sẽ là (2; 3; 0). Vậy tọa độ đỉnh C là (2; 3; 0).