Giúp mik va ạ

Câu 9. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về mối quan hệ giữa hàm số $f(x)$ và nguyên hàm của nó, $F(x)$. Theo định nghĩa, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng K, thì: \[ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. $f'(x) = F(x), \quad \forall x \in K$ - Điều này không đúng vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$, không phải đạo hàm của $f(x)$. B. $F(x) = f(x), \quad \forall x \in K$ - Điều này cũng không đúng vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$, không phải là $f(x)$. C. $F(x) = f(x), \quad \forall x \in K$ - Điều này đã được kiểm tra ở lựa chọn B và không đúng. D. $F'(x) = f'(x), \quad \forall x \in K$ - Điều này không đúng vì $F'(x) = f(x)$, không phải $f'(x)$. Do đó, lựa chọn đúng là: \[ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D} \] Câu 10. Để kiểm tra xem mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là sai, chúng ta sẽ tính từng nguyên hàm theo công thức đã biết. A. $\int 0 \, dx = C$ (C là hằng số) - Nguyên hàm của 0 là hằng số, nên mệnh đề này đúng. B. $\int \frac{1}{x} \, dx = |n|x| + C$ (C là hằng số) - Nguyên hàm của $\frac{1}{x}$ là $\ln|x| + C$, nên mệnh đề này đúng. C. $\int x^4 \, dx = \frac{1}{\alpha + 1} x^{40} + C$ (C là hằng số) - Nguyên hàm của $x^4$ là $\frac{x^5}{5} + C$. Mệnh đề này sai vì nó viết $\frac{1}{\alpha + 1} x^{40} + C$ thay vì $\frac{x^5}{5} + C$. D. $\int dx = x + C$ (C là hằng số) - Nguyên hàm của $dx$ là $x + C$, nên mệnh đề này đúng. Như vậy, mệnh đề sai là: C. $\int x^4 \, dx = \frac{1}{\alpha + 1} x^{40} + C$ (C là hằng số) Đáp án: C. Câu 11. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 \), chúng ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản. Công thức nguyên hàm của \( x^n \) là: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Áp dụng công thức này vào hàm số \( f(x) = x^3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C \] Do đó, họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 \) là: \[ \frac{1}{4} x^4 + C \] Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{1}{4} x^4 + C$. Câu 12. Câu hỏi: $\int x^\prime ds$ bằng A. $\frac{1}{5}x^5 + C.$ B. $4x^2 + C.$ C. $x^3 + C$ D. $5x^3 + C$. Câu trả lời: Ta có $\int x^\prime ds = \int 1 \, ds = s + C$. Vậy đáp án đúng là: E. $s + C$. Câu 13. Để tính $\int x^2 dx$, ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{(với } n \neq -1) \] Trong trường hợp này, \( n = 2 \). Do đó: \[ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{x^3}{3} + C} \] Câu 14. Câu hỏi yêu cầu tính nguyên hàm của \( x^2 \). Ta sẽ thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của \( x^2 \). Theo công thức nguyên hàm cơ bản, ta có: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Trong đó \( n \neq -1 \). Áp dụng vào bài toán: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \] Bước 2: Kiểm tra đáp án. Trong các đáp án đã cho: A. \( 2x + C \) B. \( \frac{1}{3}x^3 + C \) C. \( x^3 + C \) D. \( 3x^3 + 0 \) Đáp án đúng là B. \( \frac{1}{3}x^3 + C \). Vậy, \(\int x^2 \, dx\) bằng \(\frac{1}{3}x^3 + C\). Đáp án: B. \( \frac{1}{3}x^3 + C \). Câu 15. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 5 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số \( f(x) \). - Nguyên hàm của \( 2x \) là: \[ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 \] - Nguyên hàm của \( 5 \) là: \[ \int 5 \, dx = 5x \] Bước 2: Cộng các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \): \[ \int (2x + 5) \, dx = x^2 + 5x + C \] Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x + 5 \) là: \[ x^2 + 5x + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( x^2 + 5x + C \) Đáp án: A. \( x^2 + 5x + C \) Câu 16. Để giải bài toán này, chúng ta cần tính tích phân của \( s \cdot x' \). Bước 1: Xác định biểu thức cần tích phân. \[ \int s \cdot x' \, dx \] Bước 2: Áp dụng công thức tích phân cơ bản. \[ \int s \cdot x' \, dx = s \int x' \, dx \] Bước 3: Tính tích phân của \( x' \). \[ \int x' \, dx = x + C \] Bước 4: Kết hợp lại để có kết quả cuối cùng. \[ s \int x' \, dx = s \cdot (x + C) = s \cdot x + C \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có đáp án đúng theo dạng trên. Do đó, chúng ta cần kiểm tra lại đề bài hoặc các lựa chọn đã cho. Câu hỏi yêu cầu tính tích phân của \( s \cdot x' \). Nếu \( s \) là hằng số, thì: \[ \int s \cdot x' \, dx = s \cdot x + C \] Nhưng trong các lựa chọn đã cho, không có đáp án đúng theo dạng trên. Vì vậy, có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc các lựa chọn đã cho. Đáp án: Không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho. Câu 17. Để tính $\int^{6x^2dx}_{-1}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của $6x^2$. Ta có: \[ \int 6x^2 \, dx = 6 \int x^2 \, dx \] Bước 2: Tính nguyên hàm của $x^2$. Theo công thức nguyên hàm cơ bản: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Áp dụng vào đây với $n=2$: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \] Bước 3: Nhân với 6. \[ 6 \int x^2 \, dx = 6 \left( \frac{x^3}{3} + C \right) = 2x^3 + C \] Bước 4: Đánh giá giới hạn trên và dưới. \[ \int_{-1}^{6} 6x^2 \, dx = \left[ 2x^3 \right]_{-1}^{6} \] Bước 5: Thay giá trị vào biểu thức. \[ \left[ 2x^3 \right]_{-1}^{6} = 2(6)^3 - 2(-1)^3 \] \[ = 2(216) - 2(-1) \] \[ = 432 + 2 \] \[ = 434 \] Vậy $\int_{-1}^{6} 6x^2 \, dx = 434$. Do đó, đáp án đúng là: D. $30x^4 + C$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có đáp án đúng là 434. Vì vậy, có thể có lỗi trong việc cung cấp các lựa chọn hoặc trong đề bài. Câu 18. Để tính $\int 3x^2 \, dx$, ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản. Bước 1: Xác định nguyên hàm của $x^2$. Theo công thức nguyên hàm cơ bản, ta có: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{(với } n \neq -1 \text{)} \] Áp dụng vào bài toán: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \] Bước 2: Nhân hệ số 3 vào nguyên hàm của $x^2$. \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \left( \frac{x^3}{3} + C \right) = x^3 + C \] Vậy đáp án đúng là: D. $x^3 + C$. Câu 19. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 + x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi hạng tử trong biểu thức. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( x^3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C_1 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( x \): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_2 \] Bước 3: Cộng lại các kết quả trên: \[ \int (x^3 + x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C \] (Trong đó \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân). Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 + x \) là: \[ \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + C \] Do đó, đáp án đúng là: D. $\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + C$ Đáp án: D. $\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + C$