Giúp mik va ạ

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm về nguyên hàm của một hàm số. Một hàm số \( F(x) \) được gọi là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( K \) nếu đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \) trên toàn bộ khoảng \( K \). Điều này có nghĩa là: \[ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xác định điều kiện nào đúng: A. \( F(x) = -f(x), \quad \forall x \in K \) - Đáp án này không đúng vì đạo hàm của \( F(x) \) không phải là \( f(x) \). B. \( f'(x) = -F(x), \quad \forall x \in K \) - Đáp án này cũng không đúng vì đạo hàm của \( f(x) \) không liên quan trực tiếp đến \( F(x) \). C. \( F(x) = f(x), \quad \forall x \in K \) - Đáp án này không đúng vì đạo hàm của \( F(x) \) không phải là \( f(x) \). D. \( f(x) = F'(x), \quad \forall x \in K \) - Đáp án này đúng vì đạo hàm của \( F(x) \) chính là \( f(x) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D} \] Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 - 1 \). Bước 1: Tính nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số. - Nguyên hàm của \( 3x^2 \) là \( \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \). - Nguyên hàm của \( -1 \) là \( \int -1 \, dx = -x \). Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại và thêm hằng số \( C \): \[ \int f(x) \, dx = \int (3x^2 - 1) \, dx = x^3 - x + C \] Do đó, khẳng định đúng là: D. \( \int f(x) \, dx = x^3 - x + C \) Đáp án: D. \( \int f(x) \, dx = x^3 - x + C \) Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos(2x) \). Bước 1: Xác định nguyên hàm của \( \cos(2x) \). Ta biết rằng: \[ \int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax) + C \] Áp dụng vào bài toán: \[ \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) + C \] Bước 2: So sánh với các lựa chọn đã cho. A. \( \int f(x) \, dx = 4x - \frac{1}{2} \sin(2x) + C \) - Sai vì không liên quan đến \( 4x \). B. \( \int f(x) \, dx = -\frac{1}{2} \sin(2x) + C \) - Sai vì dấu âm không đúng. C. \( \int f(x) \, dx = 2 \sin(2x) + C \) - Sai vì hệ số không đúng. D. \( \int f(x) \, dx = -2 \sin(2x) + C \) - Sai vì dấu âm không đúng và hệ số không đúng. Như vậy, không có lựa chọn nào đúng trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, nếu dựa trên công thức nguyên hàm chuẩn, đáp án đúng sẽ là: \[ \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) + C \] Do đó, không có lựa chọn nào đúng trong các lựa chọn đã cho. Câu 4. Để xác định khẳng định nào sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định theo các quy tắc và tính chất của nguyên hàm. A. $\int f(x) dx = F(x) + C$ - Đây là khẳng định đúng vì nguyên hàm của $f(x)$ là $F(x) + C$, trong đó $C$ là hằng số nguyên hàm. B. $\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ - Đây là khẳng định đúng vì tính chất tuyến tính của nguyên hàm cho phép tách tổng hai hàm số thành tổng các nguyên hàm của chúng. C. $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$ - Đây là khẳng định đúng vì tính chất tuyến tính của nguyên hàm cho phép nhân hằng số vào nguyên hàm của hàm số. D. $\int [f(x) - g(x)] dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx$ - Đây là khẳng định đúng vì tính chất tuyến tính của nguyên hàm cho phép tách hiệu hai hàm số thành hiệu các nguyên hàm của chúng. Như vậy, tất cả các khẳng định đều đúng. Tuy nhiên, nếu có yêu cầu chọn khẳng định sai, thì câu hỏi này có thể có lỗi hoặc thiếu thông tin. Vậy, khẳng định nào sau đây sai? Đáp án: Không có khẳng định sai trong các lựa chọn trên. Câu 5. Câu hỏi yêu cầu chúng ta xác định khẳng định đúng trong các lựa chọn đã cho. Chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một để tìm ra khẳng định đúng. A. $\int f(x) dx = f(x) + C$ - Đây là khẳng định sai vì tích phân của $f(x)$ không phải là $f(x) + C$. Tích phân của $f(x)$ là một hàm số nguyên của $f(x)$ cộng thêm hằng số $C$. B. $\int [t(x) \pm g(x)] dx = \int t(x) dx \pm \int g(x) dx$ - Đây là khẳng định đúng vì theo tính chất của tích phân, tích phân của tổng hoặc hiệu của hai hàm số bằng tổng hoặc hiệu của tích phân của mỗi hàm số. C. $\int \frac{f(x)}{g(x)} dx = \frac{\int f(x) dx}{\int g(x) dx}$ - Đây là khẳng định sai vì tích phân của thương của hai hàm số không phải là thương của tích phân của mỗi hàm số. D. $\int r(x)g(x) dx = \int r(x) dx \cdot \int g(x) dx$ - Đây là khẳng định sai vì tích phân của tích của hai hàm số không phải là tích của tích phân của mỗi hàm số. Vậy khẳng định đúng là: B. $\int [t(x) \pm g(x)] dx = \int t(x) dx \pm \int g(x) dx$ Đáp án: B. Câu 6. Trước tiên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề để xác định mệnh đề nào là sai. A. $\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ Mệnh đề này đúng vì tính chất tuyến tính của tích phân. B. $\int [f(x)g(x)] dx = \int f(x) dx \cdot \int g(x) dx$ Mệnh đề này sai vì tích phân của tích hai hàm số không bằng tích của các tích phân của từng hàm số. C. $\int [f(x) - g(x)] dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx$ Mệnh đề này đúng vì tính chất tuyến tính của tích phân. D. $\int H(x) dx = k \int f(x) dx$ (k ≠ 0, k ∈ R) Mệnh đề này đúng vì tính chất tuyến tính của tích phân. Vậy mệnh đề sai là: B. $\int [f(x)g(x)] dx = \int f(x) dx \cdot \int g(x) dx$ Đáp án: B. Câu 7. Để xác định mệnh đề nào sai trong các mệnh đề về tính chất của nguyên hàm, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. $\int f(x)g(x)dx = \int f(x)dx \cdot \int g(x)dx$ Mệnh đề này là sai vì tích của hai nguyên hàm không bằng nguyên hàm của tích hai hàm số. Tính chất này không tồn tại trong nguyên hàm. B. $\int 2f(x)dx = 2\int f(x)dx$ Mệnh đề này đúng vì tính chất tuyến tính của nguyên hàm cho phép nhân hằng số vào nguyên hàm. C. $\int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$ Mệnh đề này đúng vì tính chất tuyến tính của nguyên hàm cho phép cộng nguyên hàm của hai hàm số. D. $\int [f(x) - g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$ Mệnh đề này đúng vì tính chất tuyến tính của nguyên hàm cho phép trừ nguyên hàm của hai hàm số. Vậy, mệnh đề sai là: A. $\int f(x)g(x)dx = \int f(x)dx \cdot \int g(x)dx$ Đáp án: A. Câu 8. Để xác định khẳng định sai trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. $\int k^\prime(x)dx = k\int f(x)dx$ với $k \neq 1$. Phép tích phân của một hằng số nhân với một hàm số không đúng theo công thức này. Đúng là $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$, nhưng không phải là $\int k^\prime(x)dx = k\int f(x)dx$. Do đó, khẳng định này là sai. B. $\int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$ với $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên R. Phép tích phân của tổng hai hàm số liên tục là tổng của các tích phân của từng hàm số. Do đó, khẳng định này là đúng. C. $\int x^2 dx = \frac{1}{\alpha + 1} x^{\alpha n}$ với $\alpha \neq -1$. Phép tích phân của $x^2$ là $\frac{x^3}{3}$. Công thức chung là $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ với $n \neq -1$. Do đó, khẳng định này là sai vì nó không đúng với công thức tích phân. D. $(\int f(x)dx) = f(x)$. Phép tích phân của một hàm số không phải là chính hàm số đó. Tích phân của một hàm số là một hàm số khác, thường được gọi là nguyên hàm của hàm số ban đầu. Do đó, khẳng định này là sai. Tóm lại, khẳng định sai là: A. $\int k^\prime(x)dx = k\int f(x)dx$ với $k \neq 1$. C. $\int x^2 dx = \frac{1}{\alpha + 1} x^{\alpha n}$ với $\alpha \neq -1$. D. $(\int f(x)dx) = f(x)$. Nhưng trong các lựa chọn đã cho, khẳng định A là khẳng định sai đầu tiên. Đáp án: A.