giai giup toi voi a

Câu 1: Vì $M\in(Oxy)$ nên ta có $M(a;b;0).$ Ta có: $MA^2=(a-1)^2+(b-2)^2$ $MB^2=(a-3)^2+(b+1)^2+4$ $MC^2=(a-1)^2+(b-2)^2+4$ Suy ra $T=MA^2+2MB^2-MC^2=2[(a-3)^2+(b+1)^2+4]-4=(a-3)^2+(b+1)^2$ $T$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi $(a;b)=(3;-1).$ Vậy $T_{min}=0$ khi $M(3;-1;0).$ Câu 2: Để tìm tốc độ thay đổi doanh thu của McDonald's lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số R'(t). Bước 1: Tính đạo hàm của R(t) \[ R'(t) = -130,769 \cdot 3t^2 + 2296,47 \cdot 2t - 11493,5 \] \[ R'(t) = -392,307t^2 + 4592,94t - 11493,5 \] Bước 2: Tìm đạo hàm của R'(t) \[ R''(t) = -392,307 \cdot 2t + 4592,94 \] \[ R''(t) = -784,614t + 4592,94 \] Bước 3: Tìm điểm cực trị của R'(t) bằng cách giải phương trình R''(t) = 0 \[ -784,614t + 4592,94 = 0 \] \[ t = \frac{4592,94}{784,614} \approx 5,85 \] Bước 4: Kiểm tra dấu của R''(t) để xác định tính chất của điểm cực trị - Với \( t < 5,85 \), R''(t) > 0, tức là R'(t) là hàm số lõm lên. - Với \( t > 5,85 \), R''(t) < 0, tức là R'(t) là hàm số lõm xuống. Do đó, tại \( t = 5,85 \), R'(t) đạt giá trị lớn nhất. Bước 5: Xác định năm tương ứng với \( t = 5,85 \) - \( t = 4 \) tương ứng với năm 2004. - \( t = 5,85 \) tương ứng với năm 2004 + 1,85 = 2005,85, làm tròn đến hàng đơn vị là năm 2006. Vậy tốc độ thay đổi doanh thu của McDonald's lớn nhất vào năm 2006. Câu 3: Để tìm chiều dài ngắn nhất của cây thang, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tối ưu hóa dựa trên hình học và đại số. 1. Xác định các biến và điều kiện: - Chiều cao hàng rào: \( h = 2,4 \) mét. - Khoảng cách từ hàng rào đến bức tường: \( d = 1,5 \) mét. - Chiều dài của cây thang: \( L \). 2. Xây dựng mô hình toán học: - Gọi góc giữa cây thang và mặt đất là \( \theta \). - Chiều dài của cây thang \( L \) sẽ là: \[ L = \sqrt{(d + x)^2 + y^2} \] trong đó \( x \) là khoảng cách từ điểm tiếp xúc của thang với mặt đất đến hàng rào, và \( y \) là khoảng cách từ điểm tiếp xúc của thang với bức tường đến hàng rào. 3. Áp dụng tỉ lệ trong tam giác vuông: - Trong tam giác vuông giữa hàng rào và bức tường, ta có: \[ \tan(\theta) = \frac{y}{x} = \frac{2,4}{1,5} = 1,6 \] 4. Tìm mối liên hệ giữa \( x \) và \( y \): - Từ tỉ lệ trên, ta có: \[ y = 1,6x \] 5. Thay vào công thức chiều dài thang: - Thay \( y = 1,6x \) vào công thức \( L \): \[ L = \sqrt{(d + x)^2 + (1,6x)^2} \] \[ L = \sqrt{(1,5 + x)^2 + (1,6x)^2} \] 6. Tối ưu hóa chiều dài thang: - Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( L \), ta tính đạo hàm của \( L \) theo \( x \) và tìm điểm cực tiểu: \[ L = \sqrt{(1,5 + x)^2 + 2,56x^2} \] \[ L = \sqrt{1,5^2 + 2 \cdot 1,5x + x^2 + 2,56x^2} \] \[ L = \sqrt{2,25 + 3x + 3,56x^2} \] Đạo hàm \( L \) theo \( x \): \[ \frac{dL}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2,25 + 3x + 3,56x^2}} \cdot (3 + 7,12x) \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm cực tiểu: \[ 3 + 7,12x = 0 \] \[ x = -\frac{3}{7,12} \approx -0,421 \] Vì \( x \) phải dương, ta kiểm tra lại các giá trị cận biên hoặc sử dụng phương pháp khác để tối ưu hóa. 7. Kiểm tra giá trị cận biên: - Ta thử \( x = 0 \): \[ L = \sqrt{(1,5 + 0)^2 + (1,6 \cdot 0)^2} = \sqrt{1,5^2} = 1,5 \] - Ta thử \( x = 1,5 \): \[ L = \sqrt{(1,5 + 1,5)^2 + (1,6 \cdot 1,5)^2} = \sqrt{3^2 + 2,4^2} = \sqrt{9 + 5,76} = \sqrt{14,76} \approx 3,84 \] 8. Kết luận: - Chiều dài ngắn nhất của cây thang là khoảng 3,84 mét, tương đương 384 cm. Do đó, chiều dài ngắn nhất của cây thang là 384 cm. Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích đáy của lăng trụ lục giác đều. 2. Xác định chiều cao của lăng trụ. 3. Tính thể tích của lăng trụ. 4. Tìm giá trị của \( x \) để thể tích đạt giá trị lớn nhất. Bước 1: Xác định diện tích đáy của lăng trụ lục giác đều Diện tích của một tam giác đều cạnh \( a \) là: \[ S_{\text{tam giác}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Trong trường hợp này, cạnh của tam giác đều là 2m, nên diện tích của tam giác đều là: \[ S_{\text{tam giác}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3} \, \text{m}^2 \] Khi cắt tam giác đều thành một lục giác đều và sáu hình chữ nhật, diện tích của lục giác đều sẽ là: \[ S_{\text{lục giác}} = \sqrt{3} - 6 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \times x^2 \right) = \sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2} x^2 \] Bước 2: Xác định chiều cao của lăng trụ Chiều cao của lăng trụ là \( x \). Bước 3: Tính thể tích của lăng trụ Thể tích của lăng trụ lục giác đều là: \[ V = S_{\text{lục giác}} \times x = \left( \sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2} x^2 \right) \times x = \sqrt{3} x - \frac{3\sqrt{3}}{2} x^3 \] Bước 4: Tìm giá trị của \( x \) để thể tích đạt giá trị lớn nhất Để tìm giá trị của \( x \) làm cho thể tích lớn nhất, chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( V \) theo \( x \) và tìm điểm cực đại. \[ V'(x) = \sqrt{3} - \frac{9\sqrt{3}}{2} x^2 \] Đặt \( V'(x) = 0 \): \[ \sqrt{3} - \frac{9\sqrt{3}}{2} x^2 = 0 \] \[ 1 - \frac{9}{2} x^2 = 0 \] \[ \frac{9}{2} x^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{2}{9} \] \[ x = \frac{\sqrt{2}}{3} \] Kiểm tra điều kiện \( 0 < x < \frac{2}{3} \), ta thấy \( x = \frac{\sqrt{2}}{3} \) thỏa mãn. Bước 5: Tính thể tích lớn nhất Thay \( x = \frac{\sqrt{2}}{3} \) vào công thức thể tích: \[ V = \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right) - \frac{3\sqrt{3}}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)^3 \] \[ V = \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \frac{2\sqrt{2}}{27} \] \[ V = \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{9} \] \[ V = \frac{3\sqrt{6}}{9} - \frac{\sqrt{6}}{9} \] \[ V = \frac{2\sqrt{6}}{9} \] Chuyển đổi đơn vị từ mét khối sang đề-xi-mét khối (1 m³ = 1000 dm³): \[ V = \frac{2\sqrt{6}}{9} \times 1000 \approx 544.3 \, \text{dm}^3 \] Vậy thể tích của khối lăng trụ lớn nhất là khoảng 544.3 dm³.