djdfjkgdhxhbx

Câu 4. a) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng MN là $I(-3;3;-1)$ Ta có tọa độ trung điểm của đoạn thẳng MN là: \[ I = \left( \frac{x_M + x_N}{2}, \frac{y_M + y_N}{2}, \frac{z_M + z_N}{2} \right) = \left( \frac{1 + (-7)}{2}, \frac{4 + 2}{2}, \frac{-6 + 4}{2} \right) = (-3, 3, -1) \] b) Tọa độ vectơ $\overrightarrow{MN}=(-8;6;-2).$ Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$ là: \[ \overrightarrow{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M, z_N - z_M) = (-7 - 1, 2 - 4, 4 - (-6)) = (-8, 6, 10) \] c) $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}=88$ Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MP}$ là: \[ \overrightarrow{MP} = (x_P - x_M, y_P - y_M, z_P - z_M) = (-10 - 1, 1 - 4, 0 - (-6)) = (-11, -3, 6) \] Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ là: \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MP} = (-8) \cdot (-11) + 6 \cdot (-3) + 10 \cdot 6 = 88 - 18 + 60 = 130 \] d) Tọa độ điểm Q để tứ giác MNPQ là hình bình hành là $Q(-8;15;-7)$ Trong hình bình hành, vectơ $\overrightarrow{MQ}$ bằng vectơ $\overrightarrow{NP}$. Ta có: \[ \overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{NP} \] Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{NP}$ là: \[ \overrightarrow{NP} = (x_P - x_N, y_P - y_N, z_P - z_N) = (-10 - (-7), 1 - 2, 0 - 4) = (-3, -1, -4) \] Tọa độ của điểm Q là: \[ Q = M + \overrightarrow{MQ} = (1, 4, -6) + (-3, -1, -4) = (-2, 3, -10) \] Đáp số: a) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng MN là $I(-3;3;-1)$ b) Tọa độ vectơ $\overrightarrow{MN}=(-8;6;10).$ c) $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}=130$ d) Tọa độ điểm Q để tứ giác MNPQ là hình bình hành là $Q(-2;3;-10)$ Câu 1. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u} = (6; -9; 3)$ và $\overrightarrow{v} = (5; 3; 0)$, ta thực hiện theo công thức sau: Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u} = (u_1; u_2; u_3)$ và $\overrightarrow{v} = (v_1; v_2; v_3)$ được tính bằng: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3 \] Áp dụng vào bài toán cụ thể: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 6 \cdot 5 + (-9) \cdot 3 + 3 \cdot 0 \] Ta thực hiện từng phép nhân: \[ 6 \cdot 5 = 30 \] \[ (-9) \cdot 3 = -27 \] \[ 3 \cdot 0 = 0 \] Cộng các kết quả lại: \[ 30 + (-27) + 0 = 3 \] Vậy, tích vô hướng của $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3 \] Đáp số: 3 Câu 2. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 - 12x + 10$ trên đoạn $[0;3]$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 12x + 10) = 3x^2 - 12 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị trong khoảng $(0;3)$ Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ y' = 3x^2 - 12 = 0 \] \[ 3x^2 = 12 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = 2 \text{ hoặc } x = -2 \] Trong đoạn $[0;3]$, chỉ có $x = 2$ nằm trong khoảng này. Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn - Tại $x = 0$: \[ y(0) = 0^3 - 12 \cdot 0 + 10 = 10 \] - Tại $x = 2$: \[ y(2) = 2^3 - 12 \cdot 2 + 10 = 8 - 24 + 10 = -6 \] - Tại $x = 3$: \[ y(3) = 3^3 - 12 \cdot 3 + 10 = 27 - 36 + 10 = 1 \] Bước 4: So sánh các giá trị đã tính Các giá trị của hàm số tại các điểm kiểm tra là: - $y(0) = 10$ - $y(2) = -6$ - $y(3) = 1$ Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là $-6$. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 - 12x + 10$ trên đoạn $[0;3]$ là $-6$, đạt được khi $x = 2$. Câu 3. Để tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{5x+7}{x-1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng là đường thẳng $x = b$, trong đó $b$ là giá trị làm mẫu số bằng 0. \[ x - 1 = 0 \] \[ x = 1 \] Vậy tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$. 2. Tìm tiệm cận ngang: Tiệm cận ngang là đường thẳng $y = a$, trong đó $a$ là giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng. \[ y = \lim_{x \to \infty} \frac{5x + 7}{x - 1} \] \[ y = \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{7}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \] \[ y = \frac{5 + 0}{1 - 0} = 5 \] Vậy tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 5$. 3. Tính 10a + b: \[ a = 5 \] \[ b = 1 \] \[ 10a + b = 10 \times 5 + 1 = 50 + 1 = 51 \] Đáp số: 51 Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm thời điểm mà mực nước trong hồ đạt giá trị lớn nhất. Mực nước trong hồ được mô tả bởi hàm số $h(t) = 20 + 24t - t^2$. Bước 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $h(t)$. - Ta có $h(t) = 20 + 24t - t^2$. - Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số này, ta tính đạo hàm của $h(t)$: \[ h'(t) = 24 - 2t \] - Đặt $h'(t) = 0$ để tìm giá trị của $t$: \[ 24 - 2t = 0 \] \[ 2t = 24 \] \[ t = 12 \] Bước 2: Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại điểm $t = 12$. - Ta thấy $h''(t) = -2$, do đó $h''(12) = -2 < 0$. Điều này chứng tỏ hàm số $h(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t = 12$. Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại $t = 12$. \[ h(12) = 20 + 24 \cdot 12 - 12^2 \] \[ h(12) = 20 + 288 - 144 \] \[ h(12) = 164 \] Bước 4: Xác định thời điểm cần thông báo cho các hộ dân di dời. - Thời điểm bắt đầu mưa là 4 giờ sáng. - Thời điểm mực nước đạt giá trị lớn nhất là 12 giờ sau khi bắt đầu mưa, tức là vào lúc 4 giờ sáng + 12 giờ = 4 giờ chiều. - Theo quy định, cần thông báo trước 7 giờ đồng hồ trước khi xả nước, do đó thời điểm cần thông báo là: \[ 4 \text{ giờ chiều} - 7 \text{ giờ} = 9 \text{ giờ sáng} \] Vậy, cần thông báo cho các hộ dân di dời trước khi xả nước lúc 9 giờ sáng. Câu 5. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Ta tính trung bình cộng của mỗi nhóm và nhân với tần số tương ứng của nhóm đó, sau đó chia tổng này cho tổng số lượng mẫu. \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Trong đó: - \(f_i\) là tần số của nhóm thứ i. - \(x_i\) là trung bình cộng của nhóm thứ i. Ta tính trung bình cộng của mỗi nhóm: - Nhóm [4;6): Trung bình cộng là \(\frac{4+6}{2} = 5\) - Nhóm [6;8): Trung bình cộng là \(\frac{6+8}{2} = 7\) - Nhóm [8;10): Trung bình cộng là \(\frac{8+10}{2} = 9\) - Nhóm [10;12): Trung bình cộng là \(\frac{10+12}{2} = 11\) - Nhóm [12;14): Trung bình cộng là \(\frac{12+14}{2} = 13\) Bây giờ, ta tính trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \bar{x} = \frac{(6 \times 5) + (12 \times 7) + (19 \times 9) + (9 \times 11) + (4 \times 13)}{6 + 12 + 19 + 9 + 4} \] \[ \bar{x} = \frac{30 + 84 + 171 + 99 + 52}{50} = \frac{436}{50} = 8.72 \] 2. Tính phương sai Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Ta tính phương sai: \[ s^2 = \frac{6(5 - 8.72)^2 + 12(7 - 8.72)^2 + 19(9 - 8.72)^2 + 9(11 - 8.72)^2 + 4(13 - 8.72)^2}{50} \] \[ s^2 = \frac{6(-3.72)^2 + 12(-1.72)^2 + 19(0.28)^2 + 9(2.28)^2 + 4(4.28)^2}{50} \] \[ s^2 = \frac{6 \times 13.8384 + 12 \times 2.9584 + 19 \times 0.0784 + 9 \times 5.1984 + 4 \times 18.3184}{50} \] \[ s^2 = \frac{83.0304 + 35.5008 + 1.4896 + 46.7856 + 73.2736}{50} \] \[ s^2 = \frac{239.0792}{50} = 4.781584 \] Làm tròn đến hàng phần mười, ta có phương sai là: \[ s^2 \approx 4.8 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 4.8. Câu 6. Để xác định khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí xuất phát, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các máy bay: - Máy bay thứ nhất: $(30, -50, 4)$ - Máy bay thứ hai: $(-50, 60, 6)$ 2. Tìm tọa độ của máy bay thứ ba: Máy bay thứ ba nằm chính giữa của máy bay thứ nhất và máy bay thứ hai, do đó tọa độ của máy bay thứ ba là trung điểm của hai tọa độ trên. \[ \left( \frac{30 + (-50)}{2}, \frac{-50 + 60}{2}, \frac{4 + 6}{2} \right) = \left( \frac{-20}{2}, \frac{10}{2}, \frac{10}{2} \right) = (-10, 5, 5) \] 3. Tính khoảng cách từ máy bay thứ ba đến điểm xuất phát: Khoảng cách từ điểm $(0, 0, 0)$ đến điểm $(-10, 5, 5)$ được tính bằng công thức khoảng cách trong không gian: \[ d = \sqrt{(-10)^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25 + 25} = \sqrt{150} \approx 12.2 \text{ km} \] Vậy khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí xuất phát là khoảng 12.2 km.