Giải hộ mọi người oi

Câu 4. Để tính giá trị của biểu thức \( T = x - y - z \) với điểm \( D(x, y, z) \) sao cho \( y > 0 \) và ABCD là tứ diện đều, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính độ dài cạnh của tam giác đều ABC: Độ dài cạnh \( AB \): \[ AB = \sqrt{(5-2)^2 + (3-3)^2 + (-1+4)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] 2. Xác định tọa độ của điểm D: Vì ABCD là tứ diện đều, nên tất cả các cạnh đều có độ dài bằng nhau, tức là \( AD = BD = CD = 3\sqrt{2} \). Ta sẽ sử dụng phương trình khoảng cách giữa hai điểm để xác định tọa độ của \( D \): \[ AD = \sqrt{(x-5)^2 + (y-3)^2 + (z+1)^2} = 3\sqrt{2} \] \[ BD = \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2 + (z+4)^2} = 3\sqrt{2} \] \[ CD = \sqrt{(x-1)^2 + (y-2)^2 + z^2} = 3\sqrt{2} \] 3. Giải hệ phương trình: Ta có ba phương trình: \[ (x-5)^2 + (y-3)^2 + (z+1)^2 = 18 \] \[ (x-2)^2 + (y-3)^2 + (z+4)^2 = 18 \] \[ (x-1)^2 + (y-2)^2 + z^2 = 18 \] Để đơn giản hóa, ta sẽ trừ từng cặp phương trình từ nhau để loại bỏ các bình phương: \[ [(x-5)^2 + (y-3)^2 + (z+1)^2] - [(x-2)^2 + (y-3)^2 + (z+4)^2] = 0 \] \[ (x-5)^2 - (x-2)^2 + (z+1)^2 - (z+4)^2 = 0 \] \[ (x^2 - 10x + 25) - (x^2 - 4x + 4) + (z^2 + 2z + 1) - (z^2 + 8z + 16) = 0 \] \[ -6x + 21 - 6z - 15 = 0 \] \[ -6x - 6z + 6 = 0 \] \[ x + z = 1 \quad \text{(1)} \] Tiếp theo, ta làm tương tự với hai phương trình còn lại: \[ [(x-2)^2 + (y-3)^2 + (z+4)^2] - [(x-1)^2 + (y-2)^2 + z^2] = 0 \] \[ (x-2)^2 - (x-1)^2 + (y-3)^2 - (y-2)^2 + (z+4)^2 - z^2 = 0 \] \[ (x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) - (y^2 - 4y + 4) + (z^2 + 8z + 16) - z^2 = 0 \] \[ -2x + 3 - 2y + 5 + 8z + 16 = 0 \] \[ -2x - 2y + 8z + 24 = 0 \] \[ x + y - 4z = 12 \quad \text{(2)} \] Kết hợp phương trình (1) và (2): \[ x + z = 1 \] \[ x + y - 4z = 12 \] Thay \( x = 1 - z \) vào phương trình thứ hai: \[ 1 - z + y - 4z = 12 \] \[ 1 + y - 5z = 12 \] \[ y - 5z = 11 \quad \text{(3)} \] Giải phương trình (3) để tìm \( y \): \[ y = 11 + 5z \] Thay \( y = 11 + 5z \) và \( x = 1 - z \) vào phương trình ban đầu để kiểm tra: \[ (1 - z - 5)^2 + (11 + 5z - 3)^2 + (z + 1)^2 = 18 \] \[ (1 - z - 5)^2 + (11 + 5z - 3)^2 + (z + 1)^2 = 18 \] \[ (-4 - z)^2 + (8 + 5z)^2 + (z + 1)^2 = 18 \] \[ (16 + 8z + z^2) + (64 + 80z + 25z^2) + (z^2 + 2z + 1) = 18 \] \[ 27z^2 + 88z + 81 = 18 \] \[ 27z^2 + 88z + 63 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ z = \frac{-88 \pm \sqrt{88^2 - 4 \cdot 27 \cdot 63}}{2 \cdot 27} \] \[ z = \frac{-88 \pm \sqrt{7744 - 6804}}{54} \] \[ z = \frac{-88 \pm \sqrt{940}}{54} \] \[ z = \frac{-88 \pm 30.66}{54} \] Ta có hai giá trị: \[ z_1 = \frac{-88 + 30.66}{54} \approx -1.06 \] \[ z_2 = \frac{-88 - 30.66}{54} \approx -2.2 \] Vì \( y > 0 \), ta chọn \( z = -1 \): \[ y = 11 + 5(-1) = 6 \] \[ x = 1 - (-1) = 2 \] Vậy tọa độ của điểm \( D \) là \( (2, 6, -1) \). 4. Tính giá trị biểu thức \( T = x - y - z \): \[ T = 2 - 6 - (-1) = 2 - 6 + 1 = -3 \] Đáp số: \( T = -3 \). Câu 5. Giả sử chủ cửa hàng hạ giá mỗi cái tivi là \( n \times 500 \) nghìn đồng, tức là hạ giá mỗi cái tivi là \( 0,5n \) triệu đồng. Khi đó, số tivi bán ra mỗi tháng sẽ là \( 120 + 10n \) (cái). Giá bán mỗi cái tivi lúc này là \( 12 - 0,5n \) (triệu đồng). Doanh thu của cửa hàng mỗi tháng là: \( f(n) = (120 + 10n)(12 - 0,5n) = -5n^2 + 60n + 1440 \) Ta có \( f'(n) = -10n + 60 \) \( f'(n) = 0 \Leftrightarrow -10n + 60 = 0 \Leftrightarrow n = 6 \) Lập bảng biến thiên ta thấy \( f(n) \) đạt GTLN tại \( n = 6 \) Vậy để doanh thu của cửa hàng là lớn nhất thì chủ cửa hàng nên hạ giá mỗi cái tivi là: \( 6 \times 500 = 3000 \) (nghìn đồng) Cửa hàng nên bán với giá: 12 000 000 - 3 000 000 = 9 000 000 (đồng) Đáp số: 9 000 000 đồng. Câu 6. Để tìm thời điểm mực nước trong hồ lên cao nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( h(t) = 24t + 5t^2 - \frac{t^3}{3} \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( h(t) \): \[ h'(t) = \frac{d}{dt}\left(24t + 5t^2 - \frac{t^3}{3}\right) = 24 + 10t - t^2 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( h'(t) = 0 \): \[ 24 + 10t - t^2 = 0 \] \[ t^2 - 10t - 24 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1} \] \[ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2} \] \[ t = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2} \] \[ t = \frac{10 \pm 14}{2} \] Có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{10 + 14}{2} = 12 \] \[ t_2 = \frac{10 - 14}{2} = -2 \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện thực tế (vì thời gian không thể âm): \[ t = 12 \text{ (giờ)} \] Bước 5: Xác định mực nước lên cao nhất tại \( t = 12 \) giờ: \[ h(12) = 24 \cdot 12 + 5 \cdot 12^2 - \frac{12^3}{3} \] \[ h(12) = 288 + 720 - 576 \] \[ h(12) = 432 \text{ (mét)} \] Vậy mực nước trong hồ lên cao nhất vào lúc 12 giờ sau khi bắt đầu từ 8h sáng, tức là vào lúc 20h tối. Mực nước cao nhất là 432 mét. Đáp số: Mực nước trong hồ lên cao nhất vào lúc 20h tối, với độ sâu là 432 mét.