giúp tôi giải chi tiết câu này ạ

Câu 4.29. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{\sqrt{16 + x^2}}{x^2} \), chúng ta sẽ áp dụng phương pháp biến đổi đại lượng. Trước tiên, chúng ta nhận thấy rằng biểu thức \( \sqrt{16 + x^2} \) gợi ý đến việc sử dụng phương pháp biến đổi đại lượng liên quan đến \( \tan t \). Chúng ta sẽ thực hiện phép biến đổi \( x = 4 \tan t \), với \( t \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \). Bây giờ, chúng ta sẽ thay \( x = 4 \tan t \) vào biểu thức \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{\sqrt{16 + x^2}}{x^2} \] Thay \( x = 4 \tan t \): \[ f(4 \tan t) = \frac{\sqrt{16 + (4 \tan t)^2}}{(4 \tan t)^2} \] \[ = \frac{\sqrt{16 + 16 \tan^2 t}}{16 \tan^2 t} \] \[ = \frac{\sqrt{16 (1 + \tan^2 t)}}{16 \tan^2 t} \] \[ = \frac{4 \sqrt{1 + \tan^2 t}}{16 \tan^2 t} \] \[ = \frac{\sqrt{1 + \tan^2 t}}{4 \tan^2 t} \] Biết rằng \( 1 + \tan^2 t = \sec^2 t \): \[ f(4 \tan t) = \frac{\sqrt{\sec^2 t}}{4 \tan^2 t} \] \[ = \frac{\sec t}{4 \tan^2 t} \] \[ = \frac{1}{4 \sin^2 t} \] Do đó, phép biến đổi \( x = 4 \tan t \) với \( t \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \) là phù hợp để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) \). Vậy đáp án đúng là: D. \( x = 4 \tan t, t \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \).