Giảii giúp tôi

Bài 3. Gọi số học sinh lớp 9A là x (học sinh, điều kiện: x > 0). Số học sinh lớp 9B là y (học sinh, điều kiện: y > 0). Theo đề bài, ta có: \[ x + y = 82 \] Mỗi học sinh lớp 9A đóng góp 3 quyển vở, mỗi học sinh lớp 9B đóng góp 4 quyển vở, tổng số vở đóng góp của hai lớp là 288 quyển. Ta có phương trình: \[ 3x + 4y = 288 \] Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 82 \\ 3x + 4y = 288 \end{cases} \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ y = 82 - x \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 3x + 4(82 - x) = 288 \] \[ 3x + 328 - 4x = 288 \] \[ -x + 328 = 288 \] \[ -x = 288 - 328 \] \[ -x = -40 \] \[ x = 40 \] Thay \( x = 40 \) vào phương trình \( y = 82 - x \): \[ y = 82 - 40 \] \[ y = 42 \] Vậy số học sinh lớp 9A là 40 học sinh và số học sinh lớp 9B là 42 học sinh. Bài 4. a) Ta có: \(AB\) và \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O; R)\) nên \(OB \perp AB\) và \(OC \perp AC\). Do đó, \(OA\) là đường phân giác của góc \(BAC\). Mặt khác, \(OB = OC\) (vì cả hai đều là bán kính của đường tròn \((O; R)\)). Do đó, tam giác \(OBC\) là tam giác cân tại \(O\). Vì vậy, đường phân giác \(OA\) cũng là đường cao hạ từ đỉnh \(O\) xuống đáy \(BC\). Suy ra \(OA \perp BC\) tại \(H\). b) Ta có: - \(OB \perp AB\) (vì \(AB\) là tiếp tuyến) - \(OH \perp BC\) (chứng minh ở phần a) Do đó, tam giác \(ABO\) và tam giác \(AHB\) có chung góc \(BAO\) và góc \(ABO = 90^\circ - \angle BAO = \angle BAH\). Vậy \(\Delta ABO \backsim \Delta AHB\) (g.g). Từ đó ta có tỉ lệ: \[ \frac{AO}{AB} = \frac{AB}{AH} \implies AO \cdot AH = AB^2 \] Mặt khác, ta có \(AD\) là đường kính của đường tròn \((O; R)\), do đó \(AE \cdot AD = AB^2\) (theo tính chất đường kính và tiếp tuyến). Kết hợp với tỉ lệ trên ta có: \[ AO \cdot AH = AE \cdot AD \] c) Ta có: - \(DF\) là tiếp tuyến tại \(D\) của đường tròn \((O; R)\) - \(BD\) là đường kính của đường tròn \((O; R)\) Do đó, \(DF \perp BD\) và \(BD \perp BE\) (vì \(BE\) là tiếp tuyến tại \(E\)). Suy ra \(DF \parallel BE\). Ta cũng có: - \(BF\) là tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \((O; R)\) - \(DF\) là tiếp tuyến tại \(D\) của đường tròn \((O; R)\) Do đó, \(BF = DF\) (tính chất tiếp tuyến). Vì \(DF \parallel BE\) và \(BF = DF\), suy ra \(F\) là trung điểm của \(DM\). Bài 5, Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \). Ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x^4 + (x + y)^2 + 8 = 7x + 4y + 2\sqrt{x} \\ 6x - y = 5y^2 \end{array} \right. \] Xét phương trình đầu tiên: \[ x^4 + (x + y)^2 + 8 = 7x + 4y + 2\sqrt{x} \] Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ x^4 + (x + y)^2 + 8 - 7x - 4y - 2\sqrt{x} = 0 \] Nhóm lại để tạo thành các bình phương hoàn chỉnh: \[ (x^2 - \sqrt{x})^2 + ((x + y) - 2)^2 = 0 \] Vì tổng của hai bình phương bằng 0, nên mỗi bình phương phải bằng 0: \[ (x^2 - \sqrt{x})^2 = 0 \quad \text{và} \quad ((x + y) - 2)^2 = 0 \] Từ đây ta có: \[ x^2 - \sqrt{x} = 0 \quad \text{và} \quad x + y - 2 = 0 \] Giải phương trình \( x^2 - \sqrt{x} = 0 \): \[ x^2 = \sqrt{x} \] \[ x^4 = x \] \[ x(x^3 - 1) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] - Nếu \( x = 0 \): \[ 0 + y - 2 = 0 \implies y = 2 \] - Nếu \( x = 1 \): \[ 1 + y - 2 = 0 \implies y = 1 \] Bây giờ, ta kiểm tra các cặp nghiệm này vào phương trình thứ hai của hệ: \[ 6x - y = 5y^2 \] - Với \( x = 0 \) và \( y = 2 \): \[ 6(0) - 2 = 5(2)^2 \implies -2 = 20 \quad (\text{sai}) \] - Với \( x = 1 \) và \( y = 1 \): \[ 6(1) - 1 = 5(1)^2 \implies 5 = 5 \quad (\text{đúng}) \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = (1, 1) \] Đáp số: \( (x, y) = (1, 1) \).