Cho lăng trụ ABC A B C .' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC a = 2 . Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng A'B tạo với mặt phẳng (ABC) một...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của tam giác ABC. 2. Tìm chiều cao của lăng trụ. 3. Tính thể tích của lăng trụ. 4. Chứng minh A'B vuông góc với B'. Bước 1: Xác định các thông số của tam giác ABC Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B, do đó: - AB = BC = $\frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a$ - Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2} \] Bước 2: Tìm chiều cao của lăng trụ Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC, gọi là D. Do đó, AD = DC = $\frac{AC}{2} = a$. A'B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45°, nghĩa là tam giác A'DB là tam giác vuông cân tại D. Vì vậy: - Chiều cao của lăng trụ (A'D) là: \[ A'D = DB = a \] Bước 3: Tính thể tích của lăng trụ Thể tích của lăng trụ ABC A'B'C' là: \[ V = S_{ABC} \times A'D = \frac{a^2}{2} \times a = \frac{a^3}{2} \] Bước 4: Chứng minh A'B vuông góc với B' Trong tam giác vuông cân A'DB, ta có: - A'D = DB = a - A'B = $\sqrt{A'D^2 + DB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ Do A'B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45°, nên A'B vuông góc với B'. Vậy, ta đã chứng minh được A'B vuông góc với B'. Đáp số: - Thể tích của lăng trụ ABC A'B'C' là: $\frac{a^3}{2}$ - A'B vuông góc với B'