giúp với ạ âhhha

Câu 3 Gọi số chi tiết máy tổ I sản xuất được trong tháng đầu là x (chi tiết máy, điều kiện: x > 0) Số chi tiết máy tổ II sản xuất được trong tháng đầu là 800 - x (chi tiết máy) Số chi tiết máy tổ I sản xuất được trong tháng thứ hai là \[ x + \frac{15}{100} \times x = \frac{23}{20} \times x \] (chi tiết máy) Số chi tiết máy tổ II sản xuất được trong tháng thứ hai là \[ (800 - x) + \frac{20}{100} \times (800 - x) = \frac{6}{5} \times (800 - x) \] (chi tiết máy) Theo đề bài ta có: \[ \frac{23}{20} \times x + \frac{6}{5} \times (800 - x) = 945 \] \[ \frac{23}{20} \times x + \frac{4800}{5} - \frac{6}{5} \times x = 945 \] \[ \frac{23}{20} \times x - \frac{24}{20} \times x = 945 - \frac{4800}{5} \] \[ -\frac{1}{20} \times x = -\frac{15}{5} \] \[ x = 300 \] Số chi tiết máy tổ II sản xuất được trong tháng đầu là 800 - 300 = 500 (chi tiết máy) Đáp số: Tổ I: 300 chi tiết máy Tổ II: 500 chi tiết máy Câu 4 1) Giải phương trình $5x^2 - 2x = 0$ - Đầu tiên, ta thấy phương trình này có thể được viết lại dưới dạng: \[ x(5x - 2) = 0 \] - Ta giải phương trình này bằng cách đặt mỗi nhân tử bằng 0: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 5x - 2 = 0 \] \[ 5x = 2 \] \[ x = \frac{2}{5} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{2}{5} \] 2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}l3(x-7)=4(y-5)\\4x-3y+8=0\end{array}\right.$ - Đầu tiên, ta giải phương trình đầu tiên: \[ 3(x - 7) = 4(y - 5) \] \[ 3x - 21 = 4y - 20 \] \[ 3x - 4y = 1 \quad \text{(1)} \] - Tiếp theo, ta giải phương trình thứ hai: \[ 4x - 3y + 8 = 0 \quad \text{(2)} \] - Ta sẽ sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình. Từ phương trình (1), ta có: \[ 3x = 4y + 1 \] \[ x = \frac{4y + 1}{3} \quad \text{(3)} \] - Thay (3) vào phương trình (2): \[ 4 \left( \frac{4y + 1}{3} \right) - 3y + 8 = 0 \] \[ \frac{16y + 4}{3} - 3y + 8 = 0 \] Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số: \[ 16y + 4 - 9y + 24 = 0 \] \[ 7y + 28 = 0 \] \[ 7y = -28 \] \[ y = -4 \] - Thay \( y = -4 \) vào phương trình (3): \[ x = \frac{4(-4) + 1}{3} \] \[ x = \frac{-16 + 1}{3} \] \[ x = \frac{-15}{3} \] \[ x = -5 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ x = -5 \quad \text{và} \quad y = -4 \] Câu 2 1) Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sqrt x+\sqrt y}{2\sqrt x-2\sqrt y}-\frac{\sqrt x-\sqrt y}{2\sqrt x+2\sqrt y}-\frac{2y}{y-x}$ với $x;y>0$ và $x\ne y.$ Điều kiện xác định: $x > 0; y > 0; x \neq y$. Rút gọn biểu thức: $A = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{2(\sqrt{x} - \sqrt{y})} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{2(\sqrt{x} + \sqrt{y})} - \frac{2y}{y - x}$ $= \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) - (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{2(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} - \frac{2y}{y - x}$ $= \frac{x + 2\sqrt{xy} + y - (x - 2\sqrt{xy} + y)}{2(x - y)} - \frac{2y}{y - x}$ $= \frac{4\sqrt{xy}}{2(x - y)} - \frac{2y}{y - x}$ $= \frac{2\sqrt{xy}}{x - y} + \frac{2y}{x - y}$ $= \frac{2\sqrt{xy} + 2y}{x - y}$ $= \frac{2(\sqrt{xy} + y)}{x - y}$ 2) Tìm m để đồ thị các hàm số $y = 2x + 2$ và $y = x + m - 7$ cắt nhau tại điểm nằm trong góc phần tư thứ III. Đồ thị của hàm số $y = 2x + 2$ là đường thẳng đi qua điểm $(0, 2)$ và có hệ số góc là 2. Đồ thị của hàm số $y = x + m - 7$ là đường thẳng đi qua điểm $(0, m - 7)$ và có hệ số góc là 1. Để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm nằm trong góc phần tư thứ III, ta cần tìm giao điểm của chúng. Giao điểm của hai đường thẳng: $2x + 2 = x + m - 7$ $x = m - 9$ Thay vào $y = 2x + 2$: $y = 2(m - 9) + 2 = 2m - 18 + 2 = 2m - 16$ Điểm giao là $(m - 9, 2m - 16)$. Để điểm này nằm trong góc phần tư thứ III, ta cần: $m - 9 < 0$ và $2m - 16 < 0$ $m < 9$ và $m < 8$ Do đó, $m < 8$. 3) 1) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ đầy bể. Nếu người ta mở cả hai vòi chảy trong 4 giờ rồi khóa vòi hai lại và để vòi một chảy tiếp 14 giờ nữa thì mới đầy bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. Gọi thời gian vòi một chảy đầy bể là $a$ giờ và thời gian vòi hai chảy đầy bể là $b$ giờ. Trong 1 giờ, vòi một chảy được $\frac{1}{a}$ bể và vòi hai chảy được $\frac{1}{b}$ bể. Trong 12 giờ, cả hai vòi chảy được: $\frac{12}{a} + \frac{12}{b} = 1$ Trong 4 giờ, cả hai vòi chảy được: $\frac{4}{a} + \frac{4}{b}$ Trong 14 giờ, vòi một chảy được: $\frac{14}{a}$ Tổng lượng nước chảy được trong 4 giờ và 14 giờ: $\frac{4}{a} + \frac{4}{b} + \frac{14}{a} = 1$ $\frac{18}{a} + \frac{4}{b} = 1$ Ta có hệ phương trình: $\frac{12}{a} + \frac{12}{b} = 1$ $\frac{18}{a} + \frac{4}{b} = 1$ Giải hệ phương trình này, ta tìm được $a = 24$ giờ và $b = 24$ giờ. 2) Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}(m+2)x + 3y = 4m - 1\\2x - y = 3\end{array}\right.$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để hệ có nghiệm $(x; y)$ thỏa mãn $A = y^2 - 3x^2 + 8x$ đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$. Gọi nghiệm của hệ phương trình là $(x, y)$. Ta có: $(m+2)x + 3y = 4m - 1$ $2x - y = 3$ Giải hệ phương trình này, ta tìm được: $x = \frac{4m - 1 + 3(3)}{2(m+2) + 6} = \frac{4m + 8}{2m + 10} = \frac{2m + 4}{m + 5}$ $y = 2x - 3 = 2\left(\frac{2m + 4}{m + 5}\right) - 3 = \frac{4m + 8 - 3(m + 5)}{m + 5} = \frac{m - 7}{m + 5}$ Thay vào biểu thức $A$: $A = y^2 - 3x^2 + 8x$ $= \left(\frac{m - 7}{m + 5}\right)^2 - 3\left(\frac{2m + 4}{m + 5}\right)^2 + 8\left(\frac{2m + 4}{m + 5}\right)$ $= \frac{(m - 7)^2 - 3(2m + 4)^2 + 8(2m + 4)(m + 5)}{(m + 5)^2}$ $= \frac{m^2 - 14m + 49 - 3(4m^2 + 16m + 16) + 8(2m^2 + 14m + 20)}{(m + 5)^2}$ $= \frac{m^2 - 14m + 49 - 12m^2 - 48m - 48 + 16m^2 + 112m + 160}{(m + 5)^2}$ $= \frac{5m^2 + 50m + 161}{(m + 5)^2}$ Để $A$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần: $\frac{dA}{dm} = 0$ $\frac{d}{dm}\left(\frac{5m^2 + 50m + 161}{(m + 5)^2}\right) = 0$ Sử dụng quy tắc thương: $\frac{(10m + 50)(m + 5)^2 - (5m^2 + 50m + 161) \cdot 2(m + 5)}{(m + 5)^4} = 0$ $(10m + 50)(m + 5) - 2(5m^2 + 50m + 161) = 0$ $10m^2 + 50m + 50m + 250 - 10m^2 - 100m - 322 = 0$ $-72 = 0$ Điều này không thể xảy ra, do đó ta cần kiểm tra lại các bước tính toán. Để tìm giá trị nhỏ nhất của $A$, ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm các giá trị của $m$ hoặc sử dụng các phương pháp tối ưu hóa khác. Vì vậy, ta cần kiểm tra lại các bước tính toán và phương pháp tối ưu hóa để tìm giá trị nhỏ nhất của $A$. Câu 4 1) Chứng minh bốn điểm B, D, H, F nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó. Ta có: - \(\angle BDF = 90^\circ\) (vì CF là đường cao) - \(\angle BHF = 90^\circ\) (vì AD là đường cao) Do đó, bốn điểm B, D, H, F cùng thuộc đường tròn đường kính BF. Tâm I của đường tròn này là trung điểm của BF. 2) Chứng minh đường thẳng HI đi qua trung điểm M của AC. Ta có: - M là trung điểm của AC nên AM = MC. - I là trung điểm của BF nên BI = IF. Xét tam giác ABF, ta có: - M là trung điểm của AC. - I là trung điểm của BF. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đường thẳng MI song song với AB và bằng nửa AB. Vậy đường thẳng HI đi qua trung điểm M của AC. Đáp số: Tâm I của đường tròn ngoại tiếp bốn điểm B, D, H, F là trung điểm của BF. Câu 1 a) $2-\sqrt{2x-3}=1$ $\sqrt{2x-3}=1$ $(\sqrt{2x-3})^2=1^2$ $2x-3=1$ $2x=1+3$ $2x=4$ $x=\frac{4}{2}$ $x=2$ b) $3x^2-6x=0$ $3x(x-2)=0$ $x=0$ hoặc $x-2=0$ $x=0$ hoặc $x=2$ c) $\left\{\begin{array}{l}2x-y=1 \quad (1)\\3x+y=9 \quad (2)\end{array}\right.$ Cộng (1) và (2): $2x - y + 3x + y = 1 + 9$ $5x = 10$ $x = \frac{10}{5}$ $x = 2$ Thay $x = 2$ vào (1): $2(2) - y = 1$ $4 - y = 1$ $y = 4 - 1$ $y = 3$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (2, 3)$. Đáp số: a) $x = 2$ b) $x = 0$ hoặc $x = 2$ c) $(x, y) = (2, 3)$ Câu 2 1) Rút gọn biểu thức $A=(\frac{x\sqrt x-1}{x-\sqrt x}-\frac{x\sqrt x+1}{x+\sqrt x}):\frac{2.(x-2\sqrt x+1)}{x-1}:(x>0,x\ne1)$ Điều kiện xác định: \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \) Rút gọn từng phân thức: \[ \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(x - \sqrt{x})}{x - \sqrt{x}} = \sqrt{x} \] \[ \frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(x + \sqrt{x})}{x + \sqrt{x}} = \sqrt{x} \] Do đó: \[ A = (\sqrt{x} - \sqrt{x}) : \frac{2(x - 2\sqrt{x} + 1)}{x - 1} = 0 : \frac{2(x - 2\sqrt{x} + 1)}{x - 1} = 0 \] Vậy, biểu thức \( A \) rút gọn là 0. 2) Cho hai hàm số bậc nhất \( y = (m+1)x + 5 \) và \( y = (3m-1)x + m^2 + 4m \). Với giá trị nào của \( m \) thì đồ thị của các hàm số trên cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung? Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung là khi hoành độ \( x = 0 \). Thay \( x = 0 \) vào hai phương trình: Phương trình thứ nhất: \[ y = 5 \] Phương trình thứ hai: \[ y = m^2 + 4m \] Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung, ta cần: \[ 5 = m^2 + 4m \] Giải phương trình này: \[ m^2 + 4m - 5 = 0 \] Phân tích phương trình thành nhân tử: \[ (m + 5)(m - 1) = 0 \] Vậy: \[ m = -5 \text{ hoặc } m = 1 \] Đáp số: 1) \( A = 0 \) 2) \( m = -5 \) hoặc \( m = 1 \) Câu 3 1) Gọi người thứ nhất làm xong công việc trong 1 giờ thì người thứ hai làm xong công việc trong 1 giờ là y (giờ, điều kiện: x > 0, y > 0). Trong 1 giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc. Theo đề bài ta có: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$ Người thứ nhất làm trong 1 giờ 30 phút tức là $\frac{3}{2}$ giờ, người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 25% công việc, tức là $\frac{1}{4}$ công việc. Ta có phương trình: $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ Từ đây ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \\ \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \end{array} \right.$ Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 2 ta được: $\frac{3}{x} + 6 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$ Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được: $\frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{8}$ Lấy phương trình thứ hai trừ đi phương trình thứ nhất ta được: $3 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2} - \frac{3}{8}$ $3 \cdot \frac{1}{y} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}$ $3 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$ $\frac{1}{y} = \frac{1}{24}$ $y = 24$ Thay $y = 24$ vào phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$ ta được: $\frac{1}{x} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8}$ $\frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{24}$ $\frac{1}{x} = \frac{3}{24} - \frac{1}{24}$ $\frac{1}{x} = \frac{2}{24}$ $\frac{1}{x} = \frac{1}{12}$ $x = 12$ Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 12 giờ, người thứ hai làm xong công việc trong 24 giờ. 2) Phương trình $x^2 - (m+1)x + m - 2 = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$. Ta có: $x_1 + x_2 = m + 1$ $x_1 \cdot x_2 = m - 2$ Theo đề bài ta có: $x_1^2 - 2x_1x_2 = 12 - x_2^2$ $x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2 = 12$ $(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 12$ $(m + 1)^2 - 4(m - 2) = 12$ $m^2 + 2m + 1 - 4m + 8 = 12$ $m^2 - 2m + 9 = 12$ $m^2 - 2m - 3 = 0$ Phương trình này có hai nghiệm: $m = 3$ hoặc $m = -1$ Vậy $m = 3$ hoặc $m = -1$. Câu 4 a) Ta có $\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$ (cùng chắn cung AF) $\widehat{AFE}=\widehat{ABC}$ (cùng chắn cung AE) Từ đó ta có $\Delta AEF$ đồng dạng với $\Delta ACB$ (g-g) Từ đó ta có $\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}$ Hay $AF\times AC=AB\times AE$ Từ đó ta có tứ giác BCEF nội tiếp (cùng đường kính BE) b) Ta có $\widehat{HBC}=\widehat{HFC}$ (cùng chắn cung HC) Mà $\widehat{HBC}=\widehat{HAC}$ (cùng chắn cung HC) Từ đó ta có $\widehat{HFC}=\widehat{HAC}$ Từ đó ta có $\Delta HFA$ đồng dạng với $\Delta HCA$ (g-g) Từ đó ta có $\frac{HF}{HA}=\frac{HA}{HC}$ Hay $HA\times HF=HC\times HA$