Bài 13: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là một số chính phương

Bài 13: Giả sử \(a\) và \(b\) là hai số lẻ bất kỳ. Ta sẽ chứng minh rằng tổng bình phương của chúng không phải là một số chính phương. Bước 1: Xác định dạng của các số lẻ. Mỗi số lẻ có thể viết dưới dạng \(2k + 1\) với \(k\) là số nguyên. Bước 2: Tính bình phương của các số lẻ. \[ a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 \] \[ b^2 = (2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 \] Bước 3: Tính tổng bình phương của hai số lẻ. \[ a^2 + b^2 = (4k^2 + 4k + 1) + (4m^2 + 4m + 1) \] \[ = 4k^2 + 4k + 4m^2 + 4m + 2 \] \[ = 4(k^2 + k + m^2 + m) + 2 \] Bước 4: Xét tính chất của tổng bình phương này. Tổng bình phương của hai số lẻ là \(4(k^2 + k + m^2 + m) + 2\). Điều này có nghĩa là tổng này luôn có dạng \(4n + 2\) với \(n\) là số nguyên. Bước 5: Chứng minh rằng tổng này không phải là số chính phương. Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ có dư là 0 hoặc 1. Cụ thể: - Nếu \(x\) là số chẵn thì \(x = 2p\) và \(x^2 = 4p^2\) (dư 0 khi chia cho 4). - Nếu \(x\) là số lẻ thì \(x = 2q + 1\) và \(x^2 = 4q^2 + 4q + 1\) (dư 1 khi chia cho 4). Nhưng tổng bình phương của hai số lẻ có dạng \(4n + 2\), tức là khi chia cho 4 sẽ có dư là 2. Do đó, nó không thể là số chính phương vì số chính phương không thể có dạng \(4n + 2\). Kết luận: Tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương.