Bài 13: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kì không phải là một số chính phương

Bài 13: Giả sử $$ và $$ là hai số lẻ bất kỳ. Ta sẽ chứng minh rằng tổng bình phương của chúng không phải là một số chính phương. Bước 1: Xác định dạng của các số lẻ. Mỗi số lẻ có thể viết dưới dạng $$ với $$ là số nguyên. Bước 2: Tính bình phương của các số lẻ. $$ $$ Bước 3: Tính tổng bình phương của hai số lẻ. $$ $$ $$ Bước 4: Xét tính chất của tổng bình phương này. Tổng bình phương của hai số lẻ là $$. Điều này có nghĩa là tổng này luôn có dạng $$ với $$ là số nguyên. Bước 5: Chứng minh rằng tổng này không phải là số chính phương. Một số chính phương khi chia cho 4 sẽ có dư là 0 hoặc 1. Cụ thể: - Nếu $$ là số chẵn thì $$ và $$ (dư 0 khi chia cho 4). - Nếu $$ là số lẻ thì $$ và $$ (dư 1 khi chia cho 4). Nhưng tổng bình phương của hai số lẻ có dạng $$, tức là khi chia cho 4 sẽ có dư là 2. Do đó, nó không thể là số chính phương vì số chính phương không thể có dạng $$. Kết luận: Tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương.