Giúp mình với!

Câu 10 Để xét sự hội tụ của chuỗi $\sum^\infty_{n=1}(1+\frac1n)^{n^2}\frac1{2^n}$, ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tiêu chuẩn tỉ số). Bước 1: Xác định các hạng số của chuỗi: $a_n = (1 + \frac{1}{n})^{n^2} \cdot \frac{1}{2^n}$ Bước 2: Tính giới hạn của tỉ số giữa hai hạng số liên tiếp: $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ Ta có: $a_{n+1} = (1 + \frac{1}{n+1})^{(n+1)^2} \cdot \frac{1}{2^{n+1}}$ Do đó: $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{(1 + \frac{1}{n+1})^{(n+1)^2} \cdot \frac{1}{2^{n+1}}}{(1 + \frac{1}{n})^{n^2} \cdot \frac{1}{2^n}} \right|$ Rút gọn biểu thức trên: $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{(1 + \frac{1}{n+1})^{(n+1)^2}}{(1 + \frac{1}{n})^{n^2}} \cdot \frac{1}{2} \right|$ Bước 3: Tính giới hạn của biểu thức trên khi $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{(1 + \frac{1}{n+1})^{(n+1)^2}}{(1 + \frac{1}{n})^{n^2}} \cdot \frac{1}{2} \right|$ Chúng ta biết rằng: $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ Do đó: $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n+1})^{n+1} = e$ Và: $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ Như vậy: $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{(1 + \frac{1}{n+1})^{(n+1)^2}}{(1 + \frac{1}{n})^{n^2}} \cdot \frac{1}{2} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{e^{n+1}}{e^n} \cdot \frac{1}{2} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| e \cdot \frac{1}{2} \right| = \frac{e}{2}$ Bước 4: Áp dụng tiêu chuẩn D'Alembert: - Nếu $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1$, thì chuỗi hội tụ. - Nếu $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| > 1$, thì chuỗi phân kỳ. - Nếu $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1$, thì tiêu chuẩn này không đưa ra kết luận. Trong trường hợp này: $\frac{e}{2} \approx 1.35914091423 > 1$ Vậy theo tiêu chuẩn D'Alembert, chuỗi $\sum^\infty_{n=1}(1+\frac1n)^{n^2}\frac1{2^n}$ phân kỳ. Câu 11 1. Xét chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{(x-3)^{2n}}{n^2+\sqrt2}.$ Ta có: $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(x-3)^{2(n+1)}}{(n+1)^2+\sqrt2}}{\frac{(x-3)^{2n}}{n^2+\sqrt2}}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(x-3)^2(n^2+\sqrt2)}{(n+1)^2+\sqrt2}\right|=|(x-3)^2|$ Chuỗi hội tụ khi $|(x-3)^2|< 1$ hay $|x-3|< 1$. Vậy miền hội tụ là $(2,4)$. 2. Xét chuỗi $\sum^\infty_{n=1}(-1)^n(\frac{n+1}{2n+1})^n(x-1)^n$ Ta có: $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}(\frac{n+2}{2n+3})^{n+1}(x-1)^{n+1}}{(-1)^n(\frac{n+1}{2n+1})^n(x-1)^n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+2)(2n+1)}{(2n+3)(n+1)}\right||x-1|=\frac{1}{2}|x-1|$ Chuỗi hội tụ khi $\frac{1}{2}|x-1|< 1$ hay $|x-1|< 2$. Vậy miền hội tụ là $(-1,3)$. 3. Xét chuỗi $\sum^\infty_{n=1}\frac{(\ln x)^n}{\sqrt n+1}$ Ta có: $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(\ln x)^{n+1}}{\sqrt{n+1}+1}}{\frac{(\ln x)^n}{\sqrt n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(\ln x)(\sqrt n+1)}{\sqrt{n+1}+1}\right|=|\ln x|$ Chuỗi hội tụ khi $|\ln x|< 1$ hay $e^{-1}< x< e$. Vậy miền hội tụ là $(\frac{1}{e},e)$. Câu 12 Để tìm khai triển Fourier của các hàm số trên khoảng $(-\pi, \pi)$, ta sẽ thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xác định các hệ số Fourier Công thức khai triển Fourier của hàm số $f(x)$ trên khoảng $(-\pi, \pi)$ là: \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \] Trong đó: \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \] Bước 2: Tính các hệ số Fourier cho từng hàm số 1. Hàm số $f(x) = \begin{cases} 3\pi + 2x & \text{ khi } -\pi < x < 0 \\ \pi + 2x & \text{ khi } 0 < x < \pi \end{cases}$ - Tính $a_0$: \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} (3\pi + 2x) \, dx + \int_{0}^{\pi} (\pi + 2x) \, dx \right) \] \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \left[ \left( 3\pi x + x^2 \right) \Big|_{-\pi}^{0} + \left( \pi x + x^2 \right) \Big|_{0}^{\pi} \right] \] \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \left[ (0 - (-3\pi^2 + \pi^2)) + (\pi^2 + \pi^2) \right] \] \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \left[ 2\pi^2 + 2\pi^2 \right] = \frac{1}{\pi} \cdot 4\pi^2 = 4\pi \] - Tính $a_n$: \[ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} (3\pi + 2x) \cos(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} (\pi + 2x) \cos(nx) \, dx \right) \] Sử dụng tích phân từng phần, ta có: \[ a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \left( \frac{(3\pi + 2x) \sin(nx)}{n} \Big|_{-\pi}^{0} - \int_{-\pi}^{0} \frac{2 \sin(nx)}{n} \, dx \right) + \left( \frac{(\pi + 2x) \sin(nx)}{n} \Big|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \frac{2 \sin(nx)}{n} \, dx \right) \right] \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \left( \frac{-2 \cos(nx)}{n^2} \Big|_{-\pi}^{0} \right) + \left( \frac{-2 \cos(nx)}{n^2} \Big|_{0}^{\pi} \right) \right] \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \left( \frac{-2 (1 - \cos(n\pi))}{n^2} \right) + \left( \frac{-2 (\cos(n\pi) - 1)}{n^2} \right) \right] \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{-2 (1 - \cos(n\pi)) - 2 (\cos(n\pi) - 1)}{n^2} \right] = 0 \] - Tính $b_n$: \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} (3\pi + 2x) \sin(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} (\pi + 2x) \sin(nx) \, dx \right) \] Sử dụng tích phân từng phần, ta có: \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \left( \frac{-(3\pi + 2x) \cos(nx)}{n} \Big|_{-\pi}^{0} + \int_{-\pi}^{0} \frac{2 \cos(nx)}{n} \, dx \right) + \left( \frac{-(\pi + 2x) \cos(nx)}{n} \Big|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \frac{2 \cos(nx)}{n} \, dx \right) \right] \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \left( \frac{2 \sin(nx)}{n^2} \Big|_{-\pi}^{0} \right) + \left( \frac{2 \sin(nx)}{n^2} \Big|_{0}^{\pi} \right) \right] \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \left( \frac{2 (0 - \sin(n\pi))}{n^2} \right) + \left( \frac{2 (\sin(n\pi) - 0)}{n^2} \right) \right] = 0 \] Do đó, khai triển Fourier của hàm số này là: \[ f(x) = 2\pi \] 2. Hàm số $f(x) = x$ - Tính $a_0$: \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \, dx = 0 \] - Tính $a_n$: \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos(nx) \, dx = 0 \] - Tính $b_n$: \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) \, dx \] Sử dụng tích phân từng phần, ta có: \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \left( \frac{-x \cos(nx)}{n} \Big|_{-\pi}^{\pi} + \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos(nx)}{n} \, dx \right) \right] \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \left( \frac{-\pi \cos(n\pi) + \pi \cos(-n\pi)}{n} \right) + \left( \frac{\sin(nx)}{n^2} \Big|_{-\pi}^{\pi} \right) \right] \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \left( \frac{-2\pi \cos(n\pi)}{n} \right) + 0 \right] = \frac{-2\pi (-1)^n}{n\pi} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \] Do đó, khai triển Fourier của hàm số này là: \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) \] Kết luận 1. Khai triển Fourier của hàm số $f(x) = \begin{cases} 3\pi + 2x & \text{ khi } -\pi < x < 0 \\ \pi + 2x & \text{ khi } 0 < x < \pi \end{cases}$ là: \[ f(x) = 2\pi \] 2. Khai triển Fourier của hàm số $f(x) = x$ là: \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) \]