Giúp mình với! Bài 4: Cho $\Delta ABC$ cân tại A và O là trung điểm của BC. Một điểm O di động trên,AB, lấy điểm E trên AC sao cho $CE=\frac{OB^2}{BD}.$ Chứng minh rằng:,$a)~\Delta DBO\backsim\Delta OCE$ $b)~\Delta DOE\backsim\Delta DBO\backsim\Delta OCE$,c) DO, EO lần lượt là phân giác của các góc BDE, CED,d) Khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB.

Question

Accepted Answer

a) $CE = \frac{OB^2}{BD} (gt) $

$\frac{CE}{OB} = \frac{OB}{BD}$

$\Delta ABC ext{ cân tại A } $

$\displaystyle \hat{B} = \displaystyle \hat{C}$

$ ext{Xét } \Delta DBO ext{ và } \Delta OCE ext{ có:}$

$\displaystyle \begin{cases}
\hat{B} =\hat{C} & \
\frac{CE}{OB} =\frac{OB}{BD} &
\end{cases}$
$\displaystyle \Delta DBO\sim \Delta OCE( c.g.c)$

$\Delta DBO \sim \Delta OCE (c.g.c)$

b) Vì $\Delta DBO \sim \Delta OCE (cmt) $

$\begin{cases} \frac{DO}{DB} = \frac{OE}{OC} \ \displaystyle \widehat{DOB} = \displaystyle \widehat{OEC} \end{cases}$

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác vào $\Delta OEC$: $\displaystyle \widehat{OEC} + \displaystyle \widehat{C} + \displaystyle \widehat{ EOC} = 180^\circ$

Ta có: $\displaystyle \widehat{ DOB} + \displaystyle \widehat{ DBE} + \displaystyle \widehat{ EOC} = 180^\circ$

$\displaystyle \widehat{ DOE} = \displaystyle \widehat{ B =} \displaystyle \widehat{ C}$

Xét $\Delta DOE$ và $\Delta DBO$ có:

$\displaystyle \begin{cases}
\hat{B} =\widehat{DOE} & \
\frac{DO}{DB} =\frac{OE}{OB} &
\end{cases}$

$\Delta DOE \sim \Delta DBO (c.g.c)$

Vậy $\Delta DOE \sim \Delta DBO \sim \Delta OCE (đpcm)$

c) Vì $\Delta DOE \sim \Delta DBO (cmt) \Rightarrow \displaystyle \widehat{ BDO} = \displaystyle \widehat{ ODE} $

$DO$ là phân giác của $\displaystyle \widehat{ BDE}$.

Vì $\Delta DOE \sim \Delta OCE (cmt) $

$\displaystyle \widehat{ DEO} = \displaystyle \widehat{ OEC} \Rightarrow OE$ là phân giác của $\displaystyle \widehat{ DEC}$.

d) Gọi $OH, OI$ là khoảng cách từ $O$ đến $CE, DE $

$\begin{cases} OH \perp CE (H \in CE) \ OI \perp DE (I \in DE) \end{cases}$

Vì $OE$ là phân giác của $\displaystyle \widehat{ DEC} (cmt) $

$OI = OH$ (tính chất đường phân giác của một góc)

Vì $O$ cố định ($O$ là trung điểm $BC$) $\Rightarrow OI, OH$ không đổi khi $D$ di chuyển.

$\displaystyle \widehat{DOB}$