giúp mình với

Câu V: Câu 1: Để tìm khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt Mặt Trăng trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $h(t) = -0,01t^3 + 1,1t^2 - 30t + 250$ trên đoạn $[0, 50]$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $h(t)$: \[ h'(t) = -0,03t^2 + 2,2t - 30 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình $h'(t) = 0$: \[ -0,03t^2 + 2,2t - 30 = 0 \] Chia cả hai vế cho -0,03: \[ t^2 - \frac{2,2}{0,03}t + \frac{30}{0,03} = 0 \] \[ t^2 - 73,33t + 1000 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{73,33 \pm \sqrt{(73,33)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1000}}{2 \cdot 1} \] \[ t = \frac{73,33 \pm \sqrt{5377,11 - 4000}}{2} \] \[ t = \frac{73,33 \pm \sqrt{1377,11}}{2} \] \[ t = \frac{73,33 \pm 37,11}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{73,33 + 37,11}{2} = 55,22 \] (loại vì ngoài khoảng [0, 50]) \[ t_2 = \frac{73,33 - 37,11}{2} = 18,11 \] Bước 3: Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ h(0) = -0,01 \cdot 0^3 + 1,1 \cdot 0^2 - 30 \cdot 0 + 250 = 250 \] \[ h(50) = -0,01 \cdot 50^3 + 1,1 \cdot 50^2 - 30 \cdot 50 + 250 = -125 + 2750 - 1500 + 250 = 1425 \] \[ h(18,11) = -0,01 \cdot (18,11)^3 + 1,1 \cdot (18,11)^2 - 30 \cdot 18,11 + 250 \approx 199,99 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $h(t)$ trên đoạn $[0, 50]$ là khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt Mặt Trăng, đạt được khi $t = 18,11$ giây, với giá trị khoảng cách là 199,99 km. Câu 2: Để tối ưu hóa lợi nhuận, ta cần tìm số lượng sản phẩm x sao cho lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất. Bước 1: Xác định doanh thu và chi phí: - Doanh thu: $R(x) = x \cdot P(x) = x \cdot (600.000 - 10.000x) = 600.000x - 10.000x^2$ - Chi phí: $C(x) = 500.000 + 100.000x$ Bước 2: Xác định lợi nhuận: \[ L(x) = R(x) - C(x) = (600.000x - 10.000x^2) - (500.000 + 100.000x) \] \[ L(x) = -10.000x^2 + 500.000x - 500.000 \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số lợi nhuận $L(x)$: Tính đạo hàm của $L(x)$: \[ L'(x) = -20.000x + 500.000 \] Gắn $L'(x) = 0$ để tìm điểm cực trị: \[ -20.000x + 500.000 = 0 \] \[ x = \frac{500.000}{20.000} = 25 \] Bước 4: Kiểm tra giá trị của hàm số lợi nhuận tại điểm cực trị: \[ L(25) = -10.000 \cdot 25^2 + 500.000 \cdot 25 - 500.000 \] \[ L(25) = -625.000 + 12.500.000 - 500.000 \] \[ L(25) = 11.375.000 \] Vậy công ty nên sản xuất 25 đơn vị búp bê để đạt lợi nhuận tối đa là 11.375.000 đồng. Bài 1: 1) Ta có $\int\frac{\cos^2x}{1-\sin x}dx=\int\frac{1-\sin^2x}{1-\sin x}dx=\int(1+\sin x)dx=x-\cos x+C$ 2) Ta có $\int(1+3\sin^2\frac x2)dx=\int(1+\frac32(1-\cos x))dx=\frac52x-\frac32\sin x+C$ 3) Ta có $\int\sin^22xdx=\int\frac{1-\cos 4x}{2}dx=\frac12x-\frac18\sin 4x+C$ 4) Ta có $\int\cos^2(\frac x2)dx=\int\frac{1+\cos x}{2}dx=\frac12x+\frac12\sin x+C$ 5) Ta có $\int(\cos^4x-\sin^4x)dx=\int(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)dx=\int\cos 2xdx=\frac12\sin 2x+C$ 6) Ta có $\int e^{4x+1}dx=\frac14e^{4x+1}+C$ 7) Ta có $\int2^{4x+3}dx=\int8\times 16^xdx=8\times\frac{16^x}{\ln 16}+C=\frac{2^{4x+3}}{\ln 16}+C$ 8) Ta có $\int\frac1{7^{x+1}}dx=\frac17\int7^{-x}dx=-\frac17\times\frac{7^{-x}}{\ln 7}+C=-\frac{7^{-x-1}}{\ln 7}+C$ 9) Ta có $\int(2^x+3^x)^2dx=\int(2^{2x}+2\times 2^x\times 3^x+3^{2x})dx=\int(4^x+2\times 6^x+9^x)dx=\frac{4^x}{\ln 4}+\frac{2\times 6^x}{\ln 6}+\frac{9^x}{\ln 9}+C$ 10) Ta có $\int\frac{x^2-3x+2}{x^3}dx=\int(\frac1x-\frac3{x^2}+\frac2{x^3})dx=\ln |x|+\frac3x-\frac1{x^2}+C$ Bài 2: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $F(x)$, ta cần tìm các điểm cực trị của đạo hàm của nó, tức là của hàm số $f(x)$. Bước 1: Tìm đạo hàm của $f(x)$. \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{x^2}(x^3 - 4x) \right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích: \[ f'(x) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^3 - 4x) + (x^3 - 4x) \cdot \frac{d}{dx}(e^{x^2}) \] \[ f'(x) = e^{x^2} \cdot (3x^2 - 4) + (x^3 - 4x) \cdot e^{x^2} \cdot 2x \] \[ f'(x) = e^{x^2} \left( 3x^2 - 4 + 2x^4 - 8x^2 \right) \] \[ f'(x) = e^{x^2} \left( 2x^4 - 5x^2 - 4 \right) \] Bước 2: Tìm các nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$. \[ e^{x^2} \left( 2x^4 - 5x^2 - 4 \right) = 0 \] Vì $e^{x^2} > 0$ với mọi $x$, nên ta chỉ cần giải phương trình: \[ 2x^4 - 5x^2 - 4 = 0 \] Đặt $t = x^2$, ta có: \[ 2t^2 - 5t - 4 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 32}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{57}}{4} \] Do đó: \[ t_1 = \frac{5 + \sqrt{57}}{4}, \quad t_2 = \frac{5 - \sqrt{57}}{4} \] Vì $t = x^2 \geq 0$, ta loại $t_2$ vì $\frac{5 - \sqrt{57}}{4} < 0$. Vậy: \[ x^2 = \frac{5 + \sqrt{57}}{4} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{5 + \sqrt{57}}{4}} \] Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại các điểm này để xác định cực trị. Ta thấy rằng $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương hoặc từ dương sang âm tại các điểm $x = \pm \sqrt{\frac{5 + \sqrt{57}}{4}}$. Do đó, hàm số $F(x)$ có hai điểm cực trị. Kết luận: Hàm số $F(x)$ có 2 điểm cực trị. Bài 3: Ta có $f^\prime(x)=4x^3-m+1$. Tích phân hai vế ta có $f(x)=x^4-(m-1)x+d$. Do đồ thị của hàm số $y=f(x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 nên $d=3$. Mặt khác $f(2)=1$ nên $2^4-(m-1)\times 2+3=1$. Giải ra ta được $m=10$. Vậy $f(x)=x^4-9x+3$. Bài 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của độ cao \( h(t) \): - Biết rằng vận tốc \( v(t) = -9,81t + 29,43 \). - Độ cao \( h(t) \) có thể được tìm bằng cách tích phân vận tốc \( v(t) \): \[ h(t) = \int v(t) \, dt = \int (-9,81t + 29,43) \, dt = -\frac{9,81}{2}t^2 + 29,43t + C \] - Ta biết rằng ban đầu (t=0), độ cao của vật là 300m, tức là \( h(0) = 300 \). Do đó: \[ h(0) = -\frac{9,81}{2}(0)^2 + 29,43(0) + C = 300 \implies C = 300 \] - Vậy công thức của độ cao là: \[ h(t) = -4,905t^2 + 29,43t + 300 \] 2. Xác định thời điểm vật chạm đất: - Khi vật chạm đất, độ cao \( h(t) = 0 \): \[ -4,905t^2 + 29,43t + 300 = 0 \] - Đây là phương trình bậc hai, ta giải phương trình này để tìm \( t \): \[ a = -4,905, \quad b = 29,43, \quad c = 300 \] \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ t = \frac{-29,43 \pm \sqrt{(29,43)^2 - 4(-4,905)(300)}}{2(-4,905)} \] \[ t = \frac{-29,43 \pm \sqrt{866,1249 + 5886}}{-9,81} \] \[ t = \frac{-29,43 \pm \sqrt{6752,1249}}{-9,81} \] \[ t = \frac{-29,43 \pm 82,17}{-9,81} \] \[ t_1 = \frac{-29,43 + 82,17}{-9,81} \approx -5,38 \quad (\text{loại vì thời gian không thể âm}) \] \[ t_2 = \frac{-29,43 - 82,17}{-9,81} \approx 11,38 \quad (\text{chọn vì thời gian dương}) \] 3. Kết luận: - Thời điểm vật chạm đất là khoảng 11,38 giây. Làm tròn đến hàng đơn vị, ta có: \[ t \approx 11 \text{ giây} \] Vậy sau khoảng 11 giây kể từ khi bắt đầu được ném lên, vật đó sẽ chạm đất.