giải chi tiết No. .....,Date .....,VD3: Cho $M(-2;-2;1);A(1;2;-3)$,$d:~\frac{x+1}2=\frac{y-5}2=\frac z{-1}$,Viết pt đt a đi qua M và 1 d đồng thời cách,A 1 khoảng bé nhất

Question

⚚κό ρɧảί δạήɠ νừά☸ · Accepted Answer

$\displaystyle \overrightarrow{u_{d}} =( 2;2;-1)$
Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và vuông góc với đường thẳng d
Gọi H là hình chiếu kẻ từ A xuống mặt phẳng (P)
Gọi K là hình chiếu vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng $\displaystyle \Delta $
Suy ra $\displaystyle d( A;\Delta ) =AK$
Vì AH vuông (P) suy ra AH vuông góc với HK
Nên AK ⩾AH ⟹$\displaystyle d( A;\Delta ) \geqslant AH$
Do đó khoảng cách từ A đến đường thẳng $\displaystyle \Delta $ đạt giá trị nhỏ nhát khi K trùng với H

Khi đó đường thẳng cần tìm là MH
Phương trình mặt phẳng (P) là
$\displaystyle ( P) :2( x+2) +2( y+2) -z( z-1) =0$
$\displaystyle 2x+2y-z+9=0$
Phương trình đường thẳng AH là
$\displaystyle \begin{cases}
x=1+2t & \
y=2+2t & \
z=-3-t &
\end{cases}$
Vì H = (P) $\displaystyle \cap AH$ nên tọa độ của H là bộ ba (x,y,z) thỏa hệ
$\displaystyle \begin{cases}
x=1+2t & \
y=2+2t & \
z=-3-t & \
2x+2y-z+9=0 &
\end{cases}$
Từ đó ta được $\displaystyle 2( 1+2t) +2( 2+2t) -( -3-t) +9=0$
$\displaystyle 9t+18=0$
$\displaystyle t=-2$
$\displaystyle H( -3;-2;-1)$
Vậy vecto chỉ phương $\displaystyle \overrightarrow{HM} =( 1;0;2)$
Vậy phương trình là $\displaystyle \frac{x+2}{1} =\frac{z-1}{2}$

Timi · Answer

Để viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(-2;-2;1)$ và vuông góc với đường thẳng $d:~\frac{x+1}2=\frac{y-5}2=\frac z{-1}$ đồng thời cách điểm $A(1;2;-3)$ một khoảng bé nhất, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$
Đường thẳng $d$ có phương hướng được xác định bởi vectơ $\vec{u_d} = (2, 2, -1)$.

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa $\Delta$ và vuông góc với $d$
Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $d$, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa $\Delta$ và vuông góc với $d$ cũng là $\vec{n} = (2, 2, -1)$.

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa $\Delta$ và vuông góc với $d$
Mặt phẳng này đi qua điểm $M(-2, -2, 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2, 2, -1)$. Phương trình mặt phẳng là:
$$ 2(x + 2) + 2(y + 2) - (z - 1) = 0 $$
$$ 2x + 4 + 2y + 4 - z + 1 = 0 $$
$$ 2x + 2y - z + 9 = 0 $$

Bước 4: Tìm giao điểm của đường thẳng $d$ với mặt phẳng
Thay tọa độ của đường thẳng $d$ vào phương trình mặt phẳng:
$$ \frac{x+1}{2} = \frac{y-5}{2} = \frac{z}{-1} = t $$
$$ x = 2t - 1 $$
$$ y = 2t + 5 $$
$$ z = -t $$

Thay vào phương trình mặt phẳng:
$$ 2(2t - 1) + 2(2t + 5) - (-t) + 9 = 0 $$
$$ 4t - 2 + 4t + 10 + t + 9 = 0 $$
$$ 9t + 17 = 0 $$
$$ t = -\frac{17}{9} $$

Tọa độ giao điểm là:
$$ x = 2 \left( -\frac{17}{9} \right) - 1 = -\frac{34}{9} - 1 = -\frac{43}{9} $$
$$ y = 2 \left( -\frac{17}{9} \right) + 5 = -\frac{34}{9} + 5 = \frac{11}{9} $$
$$ z = -\left( -\frac{17}{9} \right) = \frac{17}{9} $$

Giao điểm là $P \left( -\frac{43}{9}, \frac{11}{9}, \frac{17}{9} \right)$.

Bước 5: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(-2, -2, 1)$ và vuông góc với $d$, do đó nó đi qua điểm $P \left( -\frac{43}{9}, \frac{11}{9}, \frac{17}{9} \right)$. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{MP} = \left( -\frac{43}{9} + 2, \frac{11}{9} + 2, \frac{17}{9} - 1 \right) = \left( -\frac{25}{9}, \frac{29}{9}, \frac{8}{9} \right)$.

Phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$$ \frac{x + 2}{-\frac{25}{9}} = \frac{y + 2}{\frac{29}{9}} = \frac{z - 1}{\frac{8}{9}} $$
$$ \frac{x + 2}{-25} = \frac{y + 2}{29} = \frac{z - 1}{8} $$

Kết luận
Phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$$ \frac{x + 2}{-25} = \frac{y + 2}{29} = \frac{z - 1}{8} $$