giải chi tiết No. .....,Date .....,VD3: Cho $M(-2;-2;1);A(1;2;-3)$,$d:~\frac{x+1}2=\frac{y-5}2=\frac z{-1}$,Viết pt đt a đi qua M và 1 d đồng thời cách,A 1 khoảng bé nhất

Question

Accepted Answer

$\displaystyle \overrightarrow{u_{d}} =( 2;2;-1)$
Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và vuông góc với đường thẳng d
Gọi H là hình chiếu kẻ từ A xuống mặt phẳng (P)
Gọi K là hình chiếu vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng $\displaystyle \Delta $
Suy ra $\displaystyle d( A;\Delta ) =AK$
Vì AH vuông (P) suy ra AH vuông góc với HK
Nên AK ⩾AH ⟹$\displaystyle d( A;\Delta ) \geqslant AH$
Do đó khoảng cách từ A đến đường thẳng $\displaystyle \Delta $ đạt giá trị nhỏ nhát khi K trùng với H

Khi đó đường thẳng cần tìm là MH
Phương trình mặt phẳng (P) là
$\displaystyle ( P) :2( x+2) +2( y+2) -z( z-1) =0$
$\displaystyle 2x+2y-z+9=0$
Phương trình đường thẳng AH là
$\displaystyle \begin{cases}
x=1+2t & \
y=2+2t & \
z=-3-t &
\end{cases}$
Vì H = (P) $\displaystyle \cap AH$ nên tọa độ của H là bộ ba (x,y,z) thỏa hệ
$\displaystyle \begin{cases}
x=1+2t & \
y=2+2t & \
z=-3-t & \
2x+2y-z+9=0 &
\end{cases}$
Từ đó ta được $\displaystyle 2( 1+2t) +2( 2+2t) -( -3-t) +9=0$
$\displaystyle 9t+18=0$
$\displaystyle t=-2$
$\displaystyle H( -3;-2;-1)$
Vậy vecto chỉ phương $\displaystyle \overrightarrow{HM} =( 1;0;2)$
Vậy phương trình là $\displaystyle \frac{x+2}{1} =\frac{z-1}{2}$