giải chi tiết

Để viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(-2;-2;1)$ và vuông góc với đường thẳng $d:~\frac{x+1}2=\frac{y-5}2=\frac z{-1}$ đồng thời cách điểm $A(1;2;-3)$ một khoảng bé nhất, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d$ Đường thẳng $d$ có phương hướng được xác định bởi vectơ $\vec{u_d} = (2, 2, -1)$. Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa $\Delta$ và vuông góc với $d$ Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $d$, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa $\Delta$ và vuông góc với $d$ cũng là $\vec{n} = (2, 2, -1)$. Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng chứa $\Delta$ và vuông góc với $d$ Mặt phẳng này đi qua điểm $M(-2, -2, 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2, 2, -1)$. Phương trình mặt phẳng là: \[ 2(x + 2) + 2(y + 2) - (z - 1) = 0 \] \[ 2x + 4 + 2y + 4 - z + 1 = 0 \] \[ 2x + 2y - z + 9 = 0 \] Bước 4: Tìm giao điểm của đường thẳng $d$ với mặt phẳng Thay tọa độ của đường thẳng $d$ vào phương trình mặt phẳng: \[ \frac{x+1}{2} = \frac{y-5}{2} = \frac{z}{-1} = t \] \[ x = 2t - 1 \] \[ y = 2t + 5 \] \[ z = -t \] Thay vào phương trình mặt phẳng: \[ 2(2t - 1) + 2(2t + 5) - (-t) + 9 = 0 \] \[ 4t - 2 + 4t + 10 + t + 9 = 0 \] \[ 9t + 17 = 0 \] \[ t = -\frac{17}{9} \] Tọa độ giao điểm là: \[ x = 2 \left( -\frac{17}{9} \right) - 1 = -\frac{34}{9} - 1 = -\frac{43}{9} \] \[ y = 2 \left( -\frac{17}{9} \right) + 5 = -\frac{34}{9} + 5 = \frac{11}{9} \] \[ z = -\left( -\frac{17}{9} \right) = \frac{17}{9} \] Giao điểm là $P \left( -\frac{43}{9}, \frac{11}{9}, \frac{17}{9} \right)$. Bước 5: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(-2, -2, 1)$ và vuông góc với $d$, do đó nó đi qua điểm $P \left( -\frac{43}{9}, \frac{11}{9}, \frac{17}{9} \right)$. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{MP} = \left( -\frac{43}{9} + 2, \frac{11}{9} + 2, \frac{17}{9} - 1 \right) = \left( -\frac{25}{9}, \frac{29}{9}, \frac{8}{9} \right)$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là: \[ \frac{x + 2}{-\frac{25}{9}} = \frac{y + 2}{\frac{29}{9}} = \frac{z - 1}{\frac{8}{9}} \] \[ \frac{x + 2}{-25} = \frac{y + 2}{29} = \frac{z - 1}{8} \] Kết luận Phương trình đường thẳng $\Delta$ là: \[ \frac{x + 2}{-25} = \frac{y + 2}{29} = \frac{z - 1}{8} \]