giúp mình với Câu I (5,0 điểm),Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2.$,1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.,2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x=1.$,3. Tim m để đường thẳng $x^3-3x^2-m=0$ (với m là tham số) luôn cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt,Câu II (4.0 điểm)

Question

Accepted Answer

Câu I 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. - Tìm tập xác định: $D = \mathbb{R}$ - Tìm giới hạn: $$ \lim_{x \to +\infty} y = +\infty, \quad \lim_{x \to -\infty} y = -\infty $$ - Tìm đạo hàm: $$ y' = 3x^2 - 6x $$ - Tìm các điểm cực trị: $$ y' = 0 \implies 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 $$ - Tại $x = 0$: $$ y(0) = 2 \implies (0, 2) $$ - Tại $x = 2$: $$ y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \implies (2, -2) $$ - Xét dấu đạo hàm: $$ y' > 0 \text{ khi } x < 0 \text{ hoặc } x > 2 $$ $$ y' < 0 \text{ khi } 0 < x < 2 $$ - Tóm tắt bảng biến thiên: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \ \hline y' & + & 0 & - & 0 & + \ \hline y & \nearrow & 2 & \searrow & -2 & \nearrow \ \hline \end{array} $$ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x=1$. - Tìm tọa độ điểm tiếp xúc: $$ y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \implies (1, 0) $$ - Tìm đạo hàm tại điểm $x=1$: $$ y'(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 = 3 - 6 = -3 $$ - Phương trình tiếp tuyến: $$ y - 0 = -3(x - 1) \implies y = -3x + 3 $$ 3. Tìm m để đường thẳng $x^3 - 3x^2 - m = 0$ (với m là tham số) luôn cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt. - Điều kiện để phương trình $x^3 - 3x^2 - m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt: $$ f(x) = x^3 - 3x^2 - m $$ - Tìm cực trị của $f(x)$: $$ f'(x) = 3x^2 - 6x = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 $$ - Tại $x = 0$: $$ f(0) = -m $$ - Tại $x = 2$: $$ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 - m = 8 - 12 - m = -4 - m $$ - Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, ta cần: $$ f(0) > 0 \text{ và } f(2) < 0 $$ $$ -m > 0 \implies m < 0 $$ $$ -4 - m < 0 \implies m > -4 $$ - Kết hợp hai điều kiện trên: $$ -4 < m < 0 $$ Đáp số: 1. Đồ thị (C) của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$ được khảo sát và vẽ theo bảng biến thiên. 2. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = 1$ là $y = -3x + 3$. 3. Điều kiện để đường thẳng $x^3 - 3x^2 - m = 0$ luôn cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt là $-4 < m < 0$. Câu II Tất nhiên, tôi sẽ tuân thủ các quy tắc trên để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 12. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc đã nêu: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $ trên đoạn $[-2, 2]$. Giải: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ f'(x) = 3x^2 - 3 $$ 2. Tìm các điểm cực trị: $$ f'(x) = 0 \implies 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 $$ Các điểm cực trị là $ x = 1 $ và $ x = -1 $. 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn: $$ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 $$ $$ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 $$ $$ f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 $$ $$ f(2) = 2^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 $$ 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: $$ f(-2) = 0, \quad f(-1) = 4, \quad f(1) = 0, \quad f(2) = 4 $$ Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi $ x = -1 $ hoặc $ x = 2 $. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi $ x = -2 $ hoặc $ x = 1 $. Đáp số: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi $ x = -1 $ hoặc $ x = 2 $. - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi $ x = -2 $ hoặc $ x = 1 $.