Giúp mik giải bài này với Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm $M(0;5;5),~N(5;-1;7)$ và mặt cầu (S) có phương,trình $(x-1)^2+(y-2)^2+z^2=9.$ Gọi $(P):~ax+by+z+d=0~(a,b0)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm,M,N và tiếp xúc với mặt cầu (S). Tính giá trị của biểu thức $A=5a+7b-2d.$

Question

Giúp mik giải bài này với Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm $M(0;5;5),~N(5;-1;7)$ và mặt cầu (S) có phương,trình $(x-1)^2+(y-2)^2+z^2=9.$ Gọi $(P):~ax+by+z+d=0~(a,b>0)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm,M,N và tiếp xúc với mặt cầu (S). Tính giá trị của biểu thức $A=5a+7b-2d.$

Accepted Answer

Câu 6:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình đường thẳng MN:
   - Vector $\overrightarrow{MN} = (5-0, -1-5, 7-5) = (5, -6, 2)$.
   - Phương trình tham số của đường thẳng MN:
     $$
     \begin{cases}
     x = 0 + 5t \
     y = 5 - 6t \
     z = 5 + 2t
     \end{cases}
     $$

2. Tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và N:
   - Mặt phẳng (P) có dạng $ax + by + z + d = 0$.
   - Thay tọa độ của M và N vào phương trình mặt phẳng:
     $$
     \begin{cases}
     5b + 5 + d = 0 \
     5a - b + 7 + d = 0
     \end{cases}
     $$
   - Giải hệ phương trình này để tìm $a$, $b$, và $d$.

3. Tìm điều kiện tiếp xúc của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S):
   - Mặt cầu (S) có tâm $I(1, 2, 0)$ và bán kính $R = 3$.
   - Điều kiện tiếp xúc là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng bán kính R:
     $$
     \frac{|a + 2b + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + 1}} = 3
     $$

4. Giải hệ phương trình để tìm $a$, $b$, và $d$:
   - Từ phương trình của mặt phẳng:
     $$
     \begin{cases}
     5b + 5 + d = 0 \
     5a - b + 7 + d = 0
     \end{cases}
     $$
     $$
     \begin{cases}
     d = -5b - 5 \
     5a - b + 7 - 5b - 5 = 0 \
     5a - 6b + 2 = 0
     \end{cases}
     $$
   - Thay vào điều kiện tiếp xúc:
     $$
     \frac{|a + 2b - 5b - 5|}{\sqrt{a^2 + b^2 + 1}} = 3
     $$
     $$
     \frac{|a - 3b - 5|}{\sqrt{a^2 + b^2 + 1}} = 3
     $$
   - Kết hợp với phương trình $5a - 6b + 2 = 0$, ta có:
     $$
     a = \frac{6b - 2}{5}
     $$
     $$
     \frac{\left|\frac{6b - 2}{5} - 3b - 5\right|}{\sqrt{\left(\frac{6b - 2}{5}\right)^2 + b^2 + 1}} = 3
     $$
     $$
     \frac{\left|\frac{6b - 2 - 15b - 25}{5}\right|}{\sqrt{\left(\frac{6b - 2}{5}\right)^2 + b^2 + 1}} = 3
     $$
     $$
     \frac{\left|\frac{-9b - 27}{5}\right|}{\sqrt{\left(\frac{6b - 2}{5}\right)^2 + b^2 + 1}} = 3
     $$
     $$
     \frac{9|b + 3|}{5\sqrt{\left(\frac{6b - 2}{5}\right)^2 + b^2 + 1}} = 3
     $$
     $$
     |b + 3| = \frac{5\sqrt{\left(\frac{6b - 2}{5}\right)^2 + b^2 + 1}}{3}
     $$
     $$
     |b + 3| = \frac{5\sqrt{\frac{(6b - 2)^2}{25} + b^2 + 1}}{3}
     $$
     $$
     |b + 3| = \frac{5\sqrt{\frac{36b^2 - 24b + 4 + 25b^2 + 25}{25}}}{3}
     $$
     $$
     |b + 3| = \frac{5\sqrt{\frac{61b^2 - 24b + 29}{25}}}{3}
     $$
     $$
     |b + 3| = \frac{5\sqrt{61b^2 - 24b + 29}}{15}
     $$
     $$
     |b + 3| = \frac{\sqrt{61b^2 - 24b + 29}}{3}
     $$
     $$
     3|b + 3| = \sqrt{61b^2 - 24b + 29}
     $$
     $$
     9(b + 3)^2 = 61b^2 - 24b + 29
     $$
     $$
     9(b^2 + 6b + 9) = 61b^2 - 24b + 29
     $$
     $$
     9b^2 + 54b + 81 = 61b^2 - 24b + 29
     $$
     $$
     0 = 52b^2 - 78b - 52
     $$
     $$
     0 = 26b^2 - 39b - 26
     $$
     $$
     0 = 26(b^2 - \frac{3}{2}b - 1)
     $$
     $$
     0 = b^2 - \frac{3}{2}b - 1
     $$
     $$
     b = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}
     $$
     Vì $b > 0$, chọn $b = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$.

5. Tìm $a$ và $d$:
   $$
   a = \frac{6b - 2}{5} = \frac{6 \cdot \frac{3 + \sqrt{17}}{4} - 2}{5} = \frac{9 + 3\sqrt{17} - 4}{10} = \frac{5 + 3\sqrt{17}}{10}
   $$
   $$
   d = -5b - 5 = -5 \cdot \frac{3 + \sqrt{17}}{4} - 5 = -\frac{15 + 5\sqrt{17}}{4} - 5 = -\frac{15 + 5\sqrt{17} + 20}{4} = -\frac{35 + 5\sqrt{17}}{4}
   $$

6. Tính giá trị của biểu thức $A = 5a + 7b - 2d$:
   $$
   A = 5 \cdot \frac{5 + 3\sqrt{17}}{10} + 7 \cdot \frac{3 + \sqrt{17}}{4} - 2 \cdot \left(-\frac{35 + 5\sqrt{17}}{4}\right)
   $$
   $$
   A = \frac{25 + 15\sqrt{17}}{10} + \frac{21 + 7\sqrt{17}}{4} + \frac{70 + 10\sqrt{17}}{4}
   $$
   $$
   A = \frac{25 + 15\sqrt{17}}{10} + \frac{21 + 7\sqrt{17} + 70 + 10\sqrt{17}}{4}
   $$
   $$
   A = \frac{25 + 15\sqrt{17}}{10} + \frac{91 + 17\sqrt{17}}{4}
   $$
   $$
   A = \frac{25 + 15\sqrt{17}}{10} + \frac{227.5 + 42.5\sqrt{17}}{10}
   $$
   $$
   A = \frac{25 + 15\sqrt{17} + 227.5 + 42.5\sqrt{17}}{10}
   $$
   $$
   A = \frac{252.5 + 57.5\sqrt{17}}{10}
   $$
   $$
   A = 25.25 + 5.75\sqrt{17}
   $$

Đáp số: $A = 25.25 + 5.75\sqrt{17}$.