giải giúp tôi vớiiii

Câu 4: Để tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\): - Ta cần tìm hai vectơ nằm trong mặt phẳng \((ABC)\). Chọn hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\). \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 1, 8 + 1, 1 + 1) = (2, 9, 2) \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 1, 2 + 1, -2 + 1) = (1, 3, -1) \] - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là tích vector của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \] Tính tích vector: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 9 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(9 \cdot (-1) - 2 \cdot 3) - \mathbf{j}(2 \cdot (-1) - 2 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 3 - 9 \cdot 1) \] \[ \overrightarrow{n} = \mathbf{i}(-9 - 6) - \mathbf{j}(-2 - 2) + \mathbf{k}(6 - 9) \] \[ \overrightarrow{n} = -15\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k} \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \((-15, 4, -3)\). 2. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\): - Đường thẳng đi qua điểm \(A(1, -1, -1)\) và có vectơ chỉ phương là \((-15, 4, -3)\). Phương trình tham số của đường thẳng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 15t \\ y = -1 + 4t \\ z = -1 - 3t \end{array} \right. \] Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 15t \\ y = -1 + 4t \\ z = -1 - 3t \end{array} \right. \] Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định hàm số \( f(x) \) từ nguyên hàm đã cho. Nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ \int f(x) \, dx = 4x - mx + C \] Trước tiên, chúng ta cần tìm đạo hàm của nguyên hàm để xác định \( f(x) \): \[ \frac{d}{dx} \left( 4x - mx + C \right) = 4 - m \] Do đó, \( f(x) = 4 - m \). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra các lựa chọn đã cho: A. \( f(x) = -mx \) B. \( f(x) = -6mx \) C. \( f(x) = mx \) D. \( f(x) = 0 \) So sánh với \( f(x) = 4 - m \), chúng ta thấy rằng \( f(x) = 4 - m \) không phụ thuộc vào \( x \). Do đó, \( f(x) \) là một hằng số. Trong các lựa chọn, chỉ có D là một hằng số: D. \( f(x) = 0 \) Vậy khẳng định đúng là: \[ \boxed{D.~f(x) = 0} \] Câu 2: Để tính diện tích của hình phẳng được tô màu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của các đường thẳng và đồ thị hàm số: - Đường thẳng \( y = x \) - Đường thẳng \( y = 2x \) - Đồ thị hàm số \( y = x^2 \) 2. Tìm giao điểm của các đường thẳng và đồ thị hàm số: - Giao điểm của \( y = x \) và \( y = x^2 \): \[ x = x^2 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \] Các giao điểm là \( (0, 0) \) và \( (1, 1) \). - Giao điểm của \( y = 2x \) và \( y = x^2 \): \[ 2x = x^2 \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Các giao điểm là \( (0, 0) \) và \( (2, 4) \). 3. Xác định giới hạn tích phân: - Hình phẳng được tô màu nằm giữa các đường thẳng \( y = x \) và \( y = 2x \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). 4. Tính diện tích hình phẳng: - Diện tích giữa hai đường thẳng \( y = x \) và \( y = 2x \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \): \[ A = \int_{0}^{1} (2x - x) \, dx = \int_{0}^{1} x \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} \] - Diện tích giữa đường thẳng \( y = x \) và đồ thị hàm số \( y = x^2 \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \): \[ B = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \] 5. Diện tích của hình phẳng được tô màu: \[ S = A - B = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Vậy diện tích của hình phẳng được tô màu là \( \frac{1}{3} \). Câu 5: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ. 2. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho. Bước 1: Xác định diện tích hình phẳng tô màu Diện tích hình phẳng tô màu trong hình vẽ là: \[ s = f\left(x + 1; \frac{1}{2}\right) \] Bước 2: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số được xác định bằng cách tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \). Giả sử hàm số đã cho là \( y = f(x) \). Ta cần tìm giới hạn: \[ \lim_{x \to \infty} \left( f(x) - (ax + b) \right) = 0 \] Trong đó, \( ax + b \) là phương trình của tiệm cận xiên. Từ các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng: - \( A.~y = x + 2 \) - \( B.~y = x - 2 \) - \( C.~y = x - 1 \) - \( D.~y = x + 3 \) Ta cần kiểm tra từng phương án để xác định phương trình đúng của tiệm cận xiên. Giả sử hàm số \( f(x) \) có dạng \( f(x) = x + g(x) \), trong đó \( g(x) \) là một hàm số có giới hạn bằng 0 khi \( x \to \infty \). Do đó, tiệm cận xiên của hàm số \( f(x) \) sẽ là \( y = x \). Từ các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng: - \( B.~y = x - 2 \) là phương án phù hợp nhất. Vậy, đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~y = x - 2} \] Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần làm rõ các thông tin đã cho và áp dụng các kiến thức về hình học không gian và góc nhị diện. Bước 1: Xác định thông tin đã cho - Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. - Diện tích đáy ABC là $\frac{1}{2} \times AB \times AC$. - Thể tích chóp S.ABC là $V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times h$, trong đó $h$ là chiều cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABC. - Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) là $\alpha$. Bước 2: Xác định diện tích đáy ABC Vì ABC là tam giác vuông cân tại A, ta có: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \] Bước 3: Xác định thể tích chóp S.ABC Thể tích chóp S.ABC được cho là: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times h \] Bước 4: Xác định chiều cao chóp S.ABC Chiều cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABC là $h$. Ta có thể tính $h$ dựa trên thể tích đã cho: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times h \] \[ h = \frac{3V}{S_{ABC}} \] Bước 5: Xác định góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) Gọi $d$ là khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC). Ta có: \[ \sin \alpha = \frac{d}{SA} \] Bước 6: Xác định góc nhị diện Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) là góc giữa hai đường thẳng hạ từ đỉnh S vuông góc với hai mặt phẳng này. Ta có thể sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng: \[ \cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \] Trong đó, $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ là các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAC). Kết luận Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) là $\theta$. Ta có thể tính $\theta$ dựa trên các thông tin đã cho và áp dụng các công thức liên quan. Đáp số: Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) là $\theta$. Câu 7: Để tìm phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \( A(0, -3) \) và song song với mặt phẳng \( (P): 2x - y + 3z + 5 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \): Mặt phẳng \( (P) \) có phương trình \( 2x - y + 3z + 5 = 0 \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \( \vec{n} = (2, -1, 3) \). 2. Xác định phương trình mặt phẳng cần tìm: Vì mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng \( (P) \), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm cũng là \( \vec{n} = (2, -1, 3) \). 3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(0, -3) \) với vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (2, -1, 3) \): Phương trình mặt phẳng có dạng \( 2(x - 0) - 1(y + 3) + 3(z - 0) = 0 \). 4. Rút gọn phương trình: \( 2x - (y + 3) + 3z = 0 \) \( 2x - y - 3 + 3z = 0 \) \( 2x - y + 3z - 3 = 0 \) Vậy phương trình của mặt phẳng đi qua điểm \( A(0, -3) \) và song song với mặt phẳng \( (P) \) là: \[ 2x - y + 3z - 3 = 0 \] Đáp số: \( 2x - y + 3z - 3 = 0 \) Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đã cho. Các điểm đó là $(1, 3)$ và $(2, -3)$. Bước 1: Tính hệ số góc của đường thẳng. Hệ số góc $m$ của đường thẳng đi qua hai điểm $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$ được tính theo công thức: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Áp dụng vào bài toán: \[ m = \frac{-3 - 3}{2 - 1} = \frac{-6}{1} = -6 \] Bước 2: Viết phương trình đường thẳng dưới dạng $y = mx + b$. Chúng ta đã biết hệ số góc $m = -6$. Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng một trong hai điểm để tìm $b$ (giao điểm với trục $y$). Sử dụng điểm $(1, 3)$: \[ 3 = -6 \cdot 1 + b \] \[ 3 = -6 + b \] \[ b = 3 + 6 \] \[ b = 9 \] Vậy phương trình đường thẳng là: \[ y = -6x + 9 \] Bước 3: Chuyển đổi phương trình về dạng tổng quát $Ax + By + C = 0$. \[ y = -6x + 9 \] \[ 6x + y - 9 = 0 \] Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $(1, 3)$ và $(2, -3)$ là: \[ 6x + y - 9 = 0 \] Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có phương trình nào đúng với kết quả trên. Vì vậy, có thể có lỗi trong việc cung cấp các lựa chọn hoặc trong quá trình giải bài toán. Dưới đây là các lựa chọn đã cho: A. $2x - y + 3x + 9 = 0$ B. $2x - y + 3x - 9 = 0$ C. $2x + y + 3x + 3x + 9$ D. $2x - y + 3x - 9 = 0$ Nhìn vào các lựa chọn, có vẻ như có sự nhầm lẫn trong việc cung cấp các phương án. Tuy nhiên, nếu chúng ta giả sử rằng có một lỗi trong việc cung cấp các lựa chọn, thì phương trình đúng là: \[ 6x + y - 9 = 0 \] Đáp án: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $(1, 3)$ và $(2, -3)$ là $6x + y - 9 = 0$. Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ yêu cầu và thông tin đã cung cấp. Tuy nhiên, câu hỏi và dữ liệu cung cấp không rõ ràng và có thể có lỗi trong việc trình bày. Tôi sẽ cố gắng giải thích dựa trên thông tin có sẵn. Bước 1: Xác định yêu cầu của bài toán Bài toán yêu cầu tìm tập nghiệm của bất phương trình \( y^2 - m_{29} \). Bước 2: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Trong bài toán này, không có phân thức, căn thức hoặc logarit, nên không cần xác định ĐKXĐ. Bước 3: Xác định giá trị của \( m_{29} \) Dữ liệu cung cấp không đủ để xác định giá trị cụ thể của \( m_{29} \). Tuy nhiên, chúng ta có thể giả sử rằng \( m_{29} \) là một hằng số. Bước 4: Giải bất phương trình Bất phương trình \( y^2 - m_{29} > 0 \) có thể được viết lại thành: \[ y^2 > m_{29} \] Để giải bất phương trình này, chúng ta cần biết giá trị của \( m_{29} \). Giả sử \( m_{29} = k \), thì bất phương trình trở thành: \[ y^2 > k \] Giải bất phương trình này, chúng ta có hai trường hợp: 1. Nếu \( k > 0 \): \[ y < -\sqrt{k} \quad \text{hoặc} \quad y > \sqrt{k} \] 2. Nếu \( k = 0 \): \[ y \neq 0 \] 3. Nếu \( k < 0 \): \[ y \in \mathbb{R} \] (vì \( y^2 \) luôn dương) Bước 5: Kết luận Do dữ liệu cung cấp không đầy đủ để xác định giá trị cụ thể của \( m_{29} \), chúng ta không thể đưa ra kết luận cuối cùng về tập nghiệm của bất phương trình. Tuy nhiên, dựa trên các trường hợp trên, chúng ta có thể suy ra rằng tập nghiệm của bất phương trình \( y^2 - m_{29} > 0 \) phụ thuộc vào giá trị của \( m_{29} \). Đáp án Vì không có thông tin đầy đủ về giá trị của \( m_{29} \), chúng ta không thể chọn một đáp án cụ thể từ các lựa chọn A, B, C, D. Tuy nhiên, nếu giả sử \( m_{29} = 0 \), thì tập nghiệm của bất phương trình sẽ là: \[ y \neq 0 \] Vậy, đáp án có thể là: \[ \boxed{B.~(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)} \] Tuy nhiên, cần thêm thông tin về giá trị của \( m_{29} \) để xác định chính xác tập nghiệm. Câu 9 Phương trình đã cho là: \[ x^0 = \frac{1}{15} x \] Trước tiên, ta biết rằng mọi số khác 0 đều có lũy thừa bậc 0 bằng 1. Do đó: \[ x^0 = 1 \] Vậy phương trình trở thành: \[ 1 = \frac{1}{15} x \] Nhân cả hai vế với 15 để giải ra x: \[ 15 = x \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 15 \] Đáp án: \( x = 15 \) Câu 10: Câu hỏi: Cho cấp số nhân có số hạng đầu $x = -2$, công bội $a = \frac{3}{2}$. Số $\frac{10}{19}$ là số hạng thứ mấy của cấp số này? Câu trả lời: Ta có công thức tổng quát của số hạng thứ n trong cấp số nhân là: \[ x_n = x \cdot a^{n-1} \] Trong đó: - $x$ là số hạng đầu tiên, - $a$ là công bội, - $n$ là số thứ tự của số hạng. Áp dụng vào bài toán: \[ x_n = -2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} \] Ta cần tìm n sao cho: \[ -2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = \frac{10}{19} \] Chia cả hai vế cho -2: \[ \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = \frac{\frac{10}{19}}{-2} = -\frac{5}{19} \] Nhận thấy rằng $\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$ luôn dương vì $\frac{3}{2}$ là số dương và lũy thừa của số dương luôn dương. Do đó, không thể có giá trị nào của n thỏa mãn phương trình trên. Vậy, số $\frac{10}{19}$ không phải là số hạng của cấp số nhân đã cho. Đáp án: Không có số hạng nào trong cấp số nhân là $\frac{10}{19}$. Câu 11: Câu hỏi: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G và O là một điểm bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu trả lời: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm G của hình tứ diện ABCD là điểm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 3:1, tính từ đỉnh đến trọng tâm của mặt đáy. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. OA + OB + OC + OD = 4OG Để kiểm tra mệnh đề này, ta sử dụng tính chất của trọng tâm trong hình tứ diện. Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 3:1, nghĩa là: OA + OB + OC + OD = 4OG Điều này là đúng vì trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 3:1, và tổng các đoạn thẳng từ O đến các đỉnh sẽ bằng 4 lần đoạn thẳng từ O đến G. Vậy, mệnh đề đúng là: A. OA + OB + OC + OD = 4OG Đáp án: A.