giải câu 9 giúp mình vs ạ Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~x+2y+2z+3=0$ và mặt phẳng $(Q):~3x-4y+5=0.$ Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).,Tính giá trị $\cos\alpha.$ $A.~\cos\alpha=\frac13.$ $B.~\cos\alpha=-\frac13.$ $C.~\cos\alpha=-\frac{11}{15}.$ $D.~\cos\alpha=\frac{11}{15}.$

Question

Accepted Answer

Câu 9.
Để tính giá trị của $\cos\alpha$, ta cần tìm góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Ta thực hiện theo các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng:
   - Mặt phẳng $(P):~x + 2y + 2z + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1 = (1, 2, 2)$.
   - Mặt phẳng $(Q):~3x - 4y + 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2 = (3, -4, 0)$.

2. Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến:
   $$
   \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-4) + 2 \cdot 0 = 3 - 8 + 0 = -5
   $$

3. Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến:
   $$
   |\vec{n}_1| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
   $$
   $$
   |\vec{n}_2| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5
   $$

4. Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ:
   $$
   \cos\alpha = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{-5}{3 \cdot 5} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3}
   $$

Vậy giá trị của $\cos\alpha$ là:
$$
\boxed{\cos\alpha = -\frac{1}{3}}
$$

Đáp án đúng là: $B.~\cos\alpha = -\frac{1}{3}$.