Giải bài thi

Câu 10. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ phân tích đồ thị của hàm số $y = f(x)$ và xác định các điểm cực trị của nó. 1. Phân tích đồ thị: - Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ có dạng như sau: - Từ $-\infty$ đến $x = -1$, hàm số giảm dần. - Tại $x = -1$, hàm số đạt cực tiểu. - Từ $x = -1$ đến $x = 0$, hàm số tăng dần. - Tại $x = 0$, hàm số đạt cực đại. - Từ $x = 0$ đến $x = 1$, hàm số giảm dần. - Tại $x = 1$, hàm số đạt cực tiểu. - Từ $x = 1$ đến $\infty$, hàm số tăng dần. 2. Xác định các điểm cực trị: - Điểm cực tiểu đầu tiên: $x = -1$ - Điểm cực đại: $x = 0$ - Điểm cực tiểu thứ hai: $x = 1$ 3. Kiểm tra các mệnh đề: - A. Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$: Đúng, vì tại $x = 0$, hàm số đạt cực đại. - B. Hàm số có ba điểm cực trị: Đúng, vì hàm số có ba điểm cực trị là $x = -1$, $x = 0$, và $x = 1$. - C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2: Sai, vì giá trị cực tiểu của hàm số không phải là 2. - D. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0: Sai, vì giá trị cực đại của hàm số không phải là 0. Kết luận: - Mệnh đề đúng là B. Hàm số có ba điểm cực trị. Đáp án: B. Hàm số có ba điểm cực trị. Câu 11. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số từ bảng biến thiên, ta cần quan sát hướng của đồ thị hàm số. Hàm số đồng biến khi giá trị của y tăng dần theo x. Bảng biến thiên cho thấy: - Từ $x = -7$ đến $x = -4$, giá trị của y giảm dần, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Từ $x = -4$ đến $x = 6$, giá trị của y tăng dần, do đó hàm số đồng biến trên khoảng này. - Từ $x = 6$ đến $+\infty$, giá trị của y giảm dần, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng này. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(-4; 6)$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có khoảng $(-4; 6)$. Ta cần kiểm tra lại các khoảng đã cho để tìm khoảng đồng biến gần đúng nhất. Các khoảng đã cho: A. $(-7; 4)$: Hàm số nghịch biến trên khoảng này. B. $(6; +\infty)$: Hàm số nghịch biến trên khoảng này. C. $(-7; +\infty)$: Hàm số không đồng biến trên toàn bộ khoảng này vì nó có đoạn nghịch biến. D. $(-7; -4)$: Hàm số nghịch biến trên khoảng này. Như vậy, không có khoảng nào trong các lựa chọn đã cho là khoảng đồng biến của hàm số. Tuy nhiên, nếu phải chọn một khoảng gần đúng nhất, ta có thể chọn khoảng $(-4; 6)$, nhưng nó không nằm trong các lựa chọn đã cho. Vậy đáp án chính xác là không có trong các lựa chọn đã cho. Câu 12. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([0; 3]\), chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số. Bước 1: Xác định các điểm cực đại và cực tiểu trên đoạn \([0; 3]\): - Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm \( x = 2 \). Bước 2: Xác định giá trị của hàm số tại các điểm cực đại và các biên của đoạn: - Tại \( x = 0 \), giá trị của hàm số là \( f(0) = 0 \). - Tại \( x = 2 \), giá trị của hàm số là \( f(2) = 3 \). - Tại \( x = 3 \), giá trị của hàm số là \( f(3) = 2 \). Bước 3: So sánh các giá trị đã tìm được để xác định giá trị lớn nhất: - \( f(0) = 0 \) - \( f(2) = 3 \) - \( f(3) = 2 \) Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là 3, đạt được khi \( x = 2 \). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0; 3]\) là 3. Đáp án đúng là: B. 3. Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) Tâm hình vuông đã cho có tọa độ $(-2;4;8).$ Tâm hình vuông là trung điểm của đường chéo BD. Ta tính trung điểm của BD: \[ M = \left( \frac{3 + (-5)}{2}, \frac{0 + 4}{2}, \frac{8 + 0}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{4}{2}, \frac{8}{2} \right) = (-1, 2, 4) \] Như vậy, tâm hình vuông không phải là $(-2;4;8)$ mà là $(-1;2;4)$. b) Độ dài cạnh của hình vuông đã cho bằng $6\sqrt{2}$. Ta tính độ dài đường chéo BD: \[ |BD| = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (0 - 4)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{(3 + 5)^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{8^2 + 4^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 16 + 64} = \sqrt{144} = 12 \] Độ dài đường chéo của hình vuông là 12. Độ dài cạnh của hình vuông là: \[ a = \frac{|BD|}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \] Vậy độ dài cạnh của hình vuông đúng là $6\sqrt{2}$. c) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=1$. Ta cần biết tọa độ của A để tính $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$. Giả sử A có tọa độ $(x_A, y_A, z_A)$. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - x_A, 0 - y_A, 8 - z_A) \] \[ \overrightarrow{AD} = D - A = (-5 - x_A, 4 - y_A, 0 - z_A) \] Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = (3 - x_A)(-5 - x_A) + (0 - y_A)(4 - y_A) + (8 - z_A)(0 - z_A) \] Do ta chưa biết tọa độ của A, ta không thể tính trực tiếp. Tuy nhiên, vì A là đỉnh của hình vuông, ta có thể suy ra rằng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ vuông góc nhau, do đó: \[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = 0 \] Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = 1$ là sai. d) $\overrightarrow{BD}=8\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+8\overrightarrow{k}$. Ta tính $\overrightarrow{BD}$: \[ \overrightarrow{BD} = D - B = (-5 - 3, 4 - 0, 0 - 8) = (-8, 4, -8) \] Vậy $\overrightarrow{BD} = -8\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 8\overrightarrow{k}$, không phải $8\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} + 8\overrightarrow{k}$. Kết luận: a) Sai, tâm hình vuông là $(-1;2;4)$. b) Đúng, độ dài cạnh của hình vuông là $6\sqrt{2}$. c) Sai, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = 0$. d) Sai, $\overrightarrow{BD} = -8\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} - 8\overrightarrow{k}$. Câu 2. Để lập bảng tần số tích lũy, chúng ta sẽ tính tổng tần số từ nhóm đầu tiên đến nhóm hiện tại. Bảng tần số và tần số tích lũy: | Nhóm | Tần số | Tần số tích lũy | |------|--------|----------------| | [20; 25) | 6 | 6 | | [25; 30) | 5 | 6 + 5 = 11 | | [30; 35) | 7 | 11 + 7 = 18 | | [35; 40) | 8 | 18 + 8 = 26 | | [40; 45) | 2 | 26 + 2 = 28 | Vậy bảng tần số tích lũy hoàn chỉnh là: | Nhóm | Tần số | Tần số tích lũy | |------|--------|----------------| | [20; 25) | 6 | 6 | | [25; 30) | 5 | 11 | | [30; 35) | 7 | 18 | | [35; 40) | 8 | 26 | | [40; 45) | 2 | 28 |