Giải giúo tôi Câu 31: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số: $y=x^2+\frac2x$ trên đoạn $[\frac12;2].$,$A.~m=5.$ $B.~m=3.$ $C.~m=\frac{17}4.$ $D.~m=10.$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 31:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y = x^2 + \frac{2}{x} $ trên đoạn $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y&#x27; = \frac{d}{dx}\left(x^2 + \frac{2}{x}\right) = 2x - \frac{2}{x^2}
   $$

2. Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   2x - \frac{2}{x^2} = 0
   $$
   $$
   2x = \frac{2}{x^2}
   $$
   $$
   2x^3 = 2
   $$
   $$
   x^3 = 1
   $$
   $$
   x = 1
   $$

3. Kiểm tra các điểm tới hạn và các đầu mút của đoạn:
   - Tại $ x = 1 $:
     $$
     y(1) = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3
     $$
   - Tại $ x = \frac{1}{2} $:
     $$
     y\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{2}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} + 4 = \frac{1}{4} + \frac{16}{4} = \frac{17}{4} = 4.25
     $$
   - Tại $ x = 2 $:
     $$
     y(2) = 2^2 + \frac{2}{2} = 4 + 1 = 5
     $$

4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất:
   - $ y(1) = 3 $
   - $ y\left(\frac{1}{2}\right) = 4.25 $
   - $ y(2) = 5 $

Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là $ 3 $.

Do đó, giá trị nhỏ nhất $ m $ của hàm số $ y = x^2 + \frac{2}{x} $ trên đoạn $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$ là:
$$
\boxed{3}
$$