Giải giúp tui Câu 31: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số: $y=x^2+\frac xx$ trên đoạn $[\frac{-2}2]$,$B.~m=3.$ $C.~m=\frac{17}4.$ $D.~m=10$,$A.~m=5.$,Câu 32: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{3x-1}{x-3}$ trên đoạn $[0;2].$,A. -5. $B.~-\frac13.$ C. 5. $D.~\frac13$,Câu 33: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{x+5}{x-7}$ trên đoạn $[8,12]$ là:àà,A. 15. $B.~\frac{17}5.$ C. 13. $D.~\frac{13}2$,Câu 34: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{2x-1}{x+5}$ trên đoạn $[-1;3].$,$A.~\frac58.$ $B.~\frac53.$ $C.~\frac{-3}4.$ $D.~-\frac15$,Câu 35: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\frac9x$ trên đoạn $[2;4]$ là,$A.~\min y=6.$ $B.~\min_{x\rightarrow1}y=\frac{25}4.$ $C.~\min y=-6.$ $D.~\min_{x\rightarrow1}y=\frac{13}2.$,Câu 36: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x+\frac4x$ trên đoạn $[1,3]$ | bằng,$A.~\max_{-1}y=3.$ $B.~\max_{1\rightarrow1}y=4.$ $C.~\max y=6.$ $D.~\max_{-1}y=5$,Câu 37: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{2x-3}{x-5}$ trên đoạn $[0;2]$ | là,$A.~\frac35.$ $B.~\frac14.$ C. 2. $D.~-\frac13.$,Câu 38: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$ trên đoạn $[0;3].$,Tính giá trị $M-m.$,$A.~M-m=-\frac94.$ $B.~M-m=3.$ $C.~M-m=\frac94.$ $D.~M-m=\frac14.$,Câu 39: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{3x-1}{x-3}$ trên $[0;2]$ là,$A.~\frac13.$ B. 5. C. -5. $D.~-\frac13.$,Câu 40: Gọi M , m thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x^2+3}{x-1}$ trên đoạn $[-2;0]$ Tính,$P=M+m.$,THPT KHOÁI CHÂU 8 Năm học 2025 - 2026

Question

Accepted Answer

Câu 31:
Trước hết, ta cần xác định đúng khoảng đoạn đã cho. Đoạn $\left[ \frac{-2}{2} \right]$ thực chất là đoạn $[-1, 1]$.

Tiếp theo, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y = x^2 + \frac{x}{x} $ trên đoạn $[-1, 1]$.

Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số:
$$ y = x^2 + \frac{x}{x} = x^2 + 1 \quad \text{(với $ x \neq 0 $)} $$

Ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm đầu và cuối của đoạn, cũng như tại các điểm tới hạn bên trong đoạn.

1. Tại $ x = -1 $:
$$ y(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 $$

2. Tại $ x = 1 $:
$$ y(1) = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 $$

3. Ta cũng cần kiểm tra tại $ x = 0 $, nhưng $ x = 0 $ không thuộc miền xác định của hàm số ban đầu do $ \frac{x}{x} $ không xác định tại $ x = 0 $.

Do đó, ta chỉ cần so sánh giá trị của hàm số tại $ x = -1 $ và $ x = 1 $.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[-1, 1]$ là 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất $ m $ của hàm số là:
$$ m = 2 $$

Đáp án đúng là:
$$ A.~m=2 $$

Câu 32:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \frac{3x-1}{x-3} $ trên đoạn $[0;2]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y = \frac{3x-1}{x-3}
   $$
   Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức:
   $$
   y' = \frac{(3)(x-3) - (3x-1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{3x - 9 - 3x + 1}{(x-3)^2} = \frac{-8}{(x-3)^2}
   $$

2. Xác định dấu của đạo hàm:
   $$
   y' = \frac{-8}{(x-3)^2}
   $$
   Vì $(x-3)^2 > 0$ với mọi $x \neq 3$, nên $y'$ luôn âm trên khoảng $(-\infty, 3)$ và $(3, +\infty)$. Do đó, $y'$ luôn âm trên đoạn $[0;2]$.

3. Hàm số nghịch biến trên đoạn $[0;2]$:
   Vì $y'$ luôn âm trên đoạn $[0;2]$, hàm số $y$ nghịch biến trên đoạn này.

4. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;2]$:
   Vì hàm số nghịch biến, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;2]$ sẽ đạt được tại điểm trái của đoạn, tức là tại $x = 0$.

5. Tính giá trị của hàm số tại $x = 0$:
   $$
   y(0) = \frac{3(0) - 1}{0 - 3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}
   $$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \frac{3x-1}{x-3} $ trên đoạn $[0;2]$ là $\frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: $ D.~\frac{1}{3} $.

Câu 33:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \frac{x+5}{x-7} $ trên đoạn $[8, 12]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y = \frac{x+5}{x-7}
   $$
   Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức:
   $$
   y' = \frac{(x-7) \cdot 1 - (x+5) \cdot 1}{(x-7)^2} = \frac{x - 7 - x - 5}{(x-7)^2} = \frac{-12}{(x-7)^2}
   $$

2. Xác định dấu của đạo hàm:
   $$
   y' = \frac{-12}{(x-7)^2}
   $$
   Vì $(x-7)^2 > 0$ với mọi $x \neq 7$, nên $y'$ luôn âm trên khoảng $(-\infty, 7)$ và $(7, +\infty)$. Do đó, hàm số $y$ nghịch biến trên đoạn $[8, 12]$.

3. So sánh giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn:
   - Tại $x = 8$:
     $$
     y(8) = \frac{8+5}{8-7} = \frac{13}{1} = 13
     $$
   - Tại $x = 12$:
     $$
     y(12) = \frac{12+5}{12-7} = \frac{17}{5} = 3.4
     $$

4. Kết luận:
   Vì hàm số $y$ nghịch biến trên đoạn $[8, 12]$, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn này sẽ đạt được tại $x = 8$.

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x+5}{x-7}$ trên đoạn $[8, 12]$ là $13$.

Đáp án: C. 13.

Câu 34:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \frac{2x-1}{x+5} $ trên đoạn $[-1; 3]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = \frac{(2)(x+5) - (2x-1)(1)}{(x+5)^2} = \frac{2x + 10 - 2x + 1}{(x+5)^2} = \frac{11}{(x+5)^2}
   $$

2. Xác định dấu của đạo hàm:
   $$
   y' = \frac{11}{(x+5)^2}
   $$
   Vì $ 11 > 0 $ và $ (x+5)^2 > 0 $ với mọi $ x \neq -5 $, nên $ y' > 0 $ trên toàn bộ miền xác định của hàm số.

3. Hàm số đồng biến trên đoạn $[-1; 3]$:
   Do $ y' > 0 $ trên đoạn $[-1; 3]$, hàm số $ y = \frac{2x-1}{x+5} $ đồng biến trên đoạn này.

4. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 3]$:
   Vì hàm số đồng biến, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 3]$ sẽ đạt được tại điểm cuối cùng của đoạn, tức là tại $ x = 3 $.

5. Tính giá trị của hàm số tại $ x = 3 $:
   $$
   y(3) = \frac{2(3) - 1}{3 + 5} = \frac{6 - 1}{8} = \frac{5}{8}
   $$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \frac{2x-1}{x+5} $ trên đoạn $[-1; 3]$ là:
$$
\boxed{\frac{5}{8}}
$$

Câu 35:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y = x + \frac{9}{x} $ trên đoạn $[2; 4]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = 1 - \frac{9}{x^2}
   $$

2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   1 - \frac{9}{x^2} = 0 \implies \frac{9}{x^2} = 1 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \quad (\text{vì } x > 0)
   $$
   Ta thấy $ x = 3 $ nằm trong khoảng $[2; 4]$.

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn:
   - Tại $ x = 2 $:
     $$
     y(2) = 2 + \frac{9}{2} = 2 + 4.5 = 6.5
     $$
   - Tại $ x = 3 $:
     $$
     y(3) = 3 + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6
     $$
   - Tại $ x = 4 $:
     $$
     y(4) = 4 + \frac{9}{4} = 4 + 2.25 = 6.25
     $$

4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất:
   - $ y(2) = 6.5 $
   - $ y(3) = 6 $
   - $ y(4) = 6.25 $

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2; 4]$ là $ 6 $, đạt được khi $ x = 3 $.

Do đó, đáp án đúng là:
$$
\boxed{\text{A. } \min y = 6}
$$

Câu 36:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ y = x + \frac{4}{x} $ trên đoạn $[1, 3]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y' = 1 - \frac{4}{x^2}
   $$

2. Giải phương trình $ y' = 0 $ để tìm các điểm tới hạn:
   $$
   1 - \frac{4}{x^2} = 0 \implies \frac{4}{x^2} = 1 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \quad (\text{vì } x > 0)
   $$

3. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn $[1, 3]$:
   - Tại $ x = 1 $:
     $$
     y(1) = 1 + \frac{4}{1} = 5
     $$
   - Tại $ x = 2 $:
     $$
     y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4
     $$
   - Tại $ x = 3 $:
     $$
     y(3) = 3 + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} + \frac{4}{3} = \frac{13}{3} \approx 4.33
     $$

4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất:
   - $ y(1) = 5 $
   - $ y(2) = 4 $
   - $ y(3) \approx 4.33 $

Trong các giá trị này, giá trị lớn nhất là $ 5 $.

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số $ y = x + \frac{4}{x} $ trên đoạn $[1, 3]$ là:
$$
\boxed{\max y = 5}
$$

Câu 37:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y = \frac{2x-3}{x-5} $ trên đoạn $[0;2]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y = \frac{2x-3}{x-5}
   $$
   Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức:
   $$
   y' = \frac{(2)(x-5) - (2x-3)(1)}{(x-5)^2} = \frac{2x - 10 - 2x + 3}{(x-5)^2} = \frac{-7}{(x-5)^2}
   $$

2. Xác định dấu của đạo hàm:
   $$
   y' = \frac{-7}{(x-5)^2}
   $$
   Vì $(x-5)^2 > 0$ với mọi $x \neq 5$, nên $y'$ luôn âm trên khoảng $(-\infty, 5)$. Do đó, hàm số $y$ giảm trên khoảng này.

3. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn $[0;2]$:
   - Tại $x = 0$:
     $$
     y(0) = \frac{2(0) - 3}{0 - 5} = \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5}
     $$
   - Tại $x = 2$:
     $$
     y(2) = \frac{2(2) - 3}{2 - 5} = \frac{4 - 3}{2 - 5} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}
     $$

4. So sánh các giá trị đã tính:
   - $y(0) = \frac{3}{5}$
   - $y(2) = -\frac{1}{3}$

Vì hàm số giảm trên đoạn $[0;2]$, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này là giá trị tại $x = 2$.

5. Kết luận:
   Giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y = \frac{2x-3}{x-5} $ trên đoạn $[0;2]$ là $-\frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: $D. -\frac{1}{3}$.

Câu 38:
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $ f(x) = \frac{2x-1}{x+1} $ trên đoạn $[0; 3]$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   f'(x) = \frac{(2)(x+1) - (2x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}
   $$
   Ta thấy $ f'(x) > 0 $ với mọi $ x \neq -1 $. Do đó, hàm số $ f(x) $ đồng biến trên khoảng $(-1, +\infty)$.

2. Xác định giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn $[0; 3]$:
   $$
   f(0) = \frac{2(0) - 1}{0 + 1} = -1
   $$
   $$
   f(3) = \frac{2(3) - 1}{3 + 1} = \frac{6 - 1}{4} = \frac{5}{4}
   $$

3. So sánh các giá trị để tìm GTLN và GTNN:
   - Hàm số đồng biến trên đoạn $[0; 3]$, do đó:
     - Giá trị nhỏ nhất $ m $ của hàm số trên đoạn $[0; 3]$ là $ f(0) = -1 $.
     - Giá trị lớn nhất $ M $ của hàm số trên đoạn $[0; 3]$ là $ f(3) = \frac{5}{4} $.

4. Tính giá trị $ M - m $:
   $$
   M - m = \frac{5}{4} - (-1) = \frac{5}{4} + 1 = \frac{5}{4} + \frac{4}{4} = \frac{9}{4}
   $$

Do đó, đáp án đúng là:
$$ C.~M - m = \frac{9}{4} $$

Câu 39:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \frac{3x-1}{x-3} $ trên đoạn $[0;2]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   $$
   y = \frac{3x-1}{x-3}
   $$
   Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức:
   $$
   y' = \frac{(3)(x-3) - (3x-1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{3x - 9 - 3x + 1}{(x-3)^2} = \frac{-8}{(x-3)^2}
   $$

2. Xác định dấu của đạo hàm:
   $$
   y' = \frac{-8}{(x-3)^2}
   $$
   Vì $(x-3)^2 > 0$ với mọi $x \neq 3$, nên $y'$ luôn âm trên khoảng $(-\infty, 3)$ và $(3, +\infty)$. Do đó, $y'$ luôn âm trên đoạn $[0;2]$.

3. Hàm số nghịch biến trên đoạn $[0;2]$:
   Vì $y'$ luôn âm trên đoạn $[0;2]$, hàm số $y$ nghịch biến trên đoạn này.

4. Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn:
   - Tại $x = 0$:
     $$
     y(0) = \frac{3(0) - 1}{0 - 3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}
     $$
   - Tại $x = 2$:
     $$
     y(2) = \frac{3(2) - 1}{2 - 3} = \frac{6 - 1}{-1} = \frac{5}{-1} = -5
     $$

5. So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất:
   - Giá trị của hàm số tại $x = 0$ là $\frac{1}{3}$.
   - Giá trị của hàm số tại $x = 2$ là $-5$.

Vì hàm số nghịch biến trên đoạn $[0;2]$, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn này là giá trị tại $x = 0$, tức là $\frac{1}{3}$.

Kết luận:
Giá trị lớn nhất của hàm số $ y = \frac{3x-1}{x-3} $ trên đoạn $[0;2]$ là $\frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: $ A. \frac{1}{3} $.

Câu 40:
Để tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số $ y = \frac{x^2 + 3}{x - 1} $ trên đoạn $[-2; 0]$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số
Hàm số $ y = \frac{x^2 + 3}{x - 1} $.

Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức:
$$ y' = \frac{(x^2 + 3)'(x - 1) - (x^2 + 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2} $$

Tính đạo hàm của tử số và mẫu số:
$$ (x^2 + 3)' = 2x $$
$$ (x - 1)' = 1 $$

Thay vào công thức:
$$ y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 3)}{(x - 1)^2} $$
$$ y' = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x - 1)^2} $$
$$ y' = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} $$

Bước 2: Tìm các điểm tới hạn
Giải phương trình $ y' = 0 $:
$$ \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = 0 $$
$$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$
$$ (x - 3)(x + 1) = 0 $$
$$ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 $$

Trong khoảng $[-2; 0]$, chỉ có $ x = -1 $ nằm trong đoạn này.

Bước 3: Đánh giá hàm số tại các điểm tới hạn và đầu mút của đoạn
- Tại $ x = -2 $:
$$ y(-2) = \frac{(-2)^2 + 3}{-2 - 1} = \frac{4 + 3}{-3} = \frac{7}{-3} = -\frac{7}{3} $$

- Tại $ x = 0 $:
$$ y(0) = \frac{0^2 + 3}{0 - 1} = \frac{3}{-1} = -3 $$

- Tại $ x = -1 $:
$$ y(-1) = \frac{(-1)^2 + 3}{-1 - 1} = \frac{1 + 3}{-2} = \frac{4}{-2} = -2 $$

Bước 4: Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
So sánh các giá trị đã tính:
$$ y(-2) = -\frac{7}{3} \approx -2.33 $$
$$ y(0) = -3 $$
$$ y(-1) = -2 $$

Do đó:
- Giá trị lớn nhất $ M = -2 $
- Giá trị nhỏ nhất $ m = -3 $

Bước 5: Tính tổng $ P = M + m $
$$ P = -2 + (-3) = -5 $$

Vậy, giá trị của $ P $ là:
$$ \boxed{-5} $$